Mudança de base em \(\Pol{2}\): um exemplo completo

Em \(\Pol{2}\), sejam \[B = (1,\ t,\ t^2)\qquad\text{e}\qquad B' = (1+t,\ t+t^2,\ 1+t^2).\]

(i) \(B'\) é base e a matriz de mudança. As coordenadas dos vetores de \(B'\) na base \(B\) são \((1,1,0)\), \((0,1,1)\) e \((1,0,1)\), logo \[P = [I]_{BB'} = \begin{pmatrix}1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}.\] Esses três vetores são LI — de \(a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1) = 0\) vem \(a+c=0\), \(a+b=0\) e \(b+c=0\), donde \(a=b=c=0\) —, logo \(B'\) é base pelo item (b) do Corolário 2.81. A matriz \(P\) é invertível pela Proposição 3.13, e um cálculo direto dá \[P^{-1} = [I]_{B'B} = \frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}.\]

(ii) Coordenadas. Para \(p = 1+2t+3t^2\), temos \([p]_B = (1,2,3)\) e \[[p]_{B'} = P^{-1}[p]_B = \tfrac12(1+2-3,\ -1+2+3,\ 1-2+3) = (0,\,2,\,1),\] o que se confere: \(2(t+t^2)+(1+t^2) = 1+2t+3t^2\).

(iii) Um operador nas duas bases. Tome \(D(p) = p'\). Então \[[D]_{BB} = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{pmatrix},\qquad [D]_{B'B'} = P^{-1}[D]_{BB}P = \frac12\begin{pmatrix}1&3&2\\ -1&1&2\\ 1&-1&-2\end{pmatrix}.\] Confira uma coluna diretamente, que é o que convence: \(D(1+t) = 1\), e \(1 = \tfrac12(1+t)-\tfrac12(t+t^2)+\tfrac12(1+t^2)\), isto é \([D(1+t)]_{B'} = \tfrac12(1,-1,1)\) — que é exatamente a primeira coluna.