Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas
Sejam \(A,B\) simétricas com \(B\) positiva definida. Existe \(P\) invertível com \(P^tBP = I\) e \(P^tAP\) diagonal; os elementos diagonais são as raízes de \(\det(A-\lambda B) = 0\).
Em mecânica, com \(B\) a energia cinética e \(A\) a potencial de um sistema de massas e molas, as raízes de \(\det(A-\lambda B) = 0\) são os quadrados das frequências dos modos normais. É um produto interno (\(B\)) e uma forma (\(A\)) diagonalizados juntos.
Demonstração
Pela Proposição 9.23, \(P_1^tBP_1 = I\) para alguma \(P_1\). A matriz \(P_1^tAP_1\) é simétrica: \(P_1^tAP_1 = QDQ^t\) (Teorema 9.5). Com \(P = P_1Q\): \(P^tBP = Q^tQ = I\) e \(P^tAP = D\). E \(\det(A-\lambda B) = \det\big((P^t)^{-1}(D-\lambda I)P^{-1}\big) = \det(D-\lambda I)/(\det P)^2\).
prop-simult