Forma quadrática
Uma forma quadrática em \(\R^n\) é uma função \(q(x) = x^tAx\) com \(A\) simétrica; em \(V\) qualquer, é \(q(v) = \beta(v,v)\) com \(\beta\) bilinear simétrica.
Início · Capítulo 9 · Teorema espectral e formas quadráticas
Formas quadráticas e a lei de inércia de Sylvester
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- Definição 9.12Forma quadrática
- Proposição 9.13A forma quadrática determina a forma bilinear
- Exemplo 9.14A matriz de uma forma quadrática
- Definição 9.15Matrizes congruentes
- Teorema 9.16Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados
- Exemplo 9.17Redução de \(5x^2-4xy+8y^2\)
- Construção 9.18Redução de Sylvester por completamento de quadrados
- Nota 9.19As três formas reduzidas de \(\R^2\)
- Teorema 9.20Lei de inércia de Sylvester
- Definição 9.21Assinatura de uma forma quadrática
- Corolário 9.22Assinatura, autovalores e congruência
- Proposição 9.23Formas positivas definidas: cinco caracterizações
- Exemplo 9.24A assinatura de \(2xy+2yz+2zx\)
- Exemplo 9.25Diagonal e determinante positivos não bastam
- Proposição 9.26Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas
- Exercício 9.27Mesma assinatura implica mesmos autovalores?
- Exercício 9.28Mesmos autovalores implicam mesma assinatura?
A forma quadrática determina a forma bilinear
A forma \(q\) determina \(\beta\) (e \(A\)): \(\beta(u,v) = \frac12\big(q(u+v)-q(u)-q(v)\big)\).
Demonstração
Expanda \(q(u+v) = \beta(u+v,u+v) = q(u)+2\beta(u,v)+q(v)\), usando a simetria.
A matriz de uma forma quadrática
\(q(x,y,z) = x^2+4xy-2yz+3z^2\). Os quadrados vão na diagonal; cada termo cruzado se divide ao meio entre as duas posições simétricas: \[A = \begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}.\]
Matrizes congruentes
Mudando de coordenadas, \(x = Py\) com \(P\) invertível, \[q(Py) = y^t(P^tAP)\,y.\] Duas simétricas \(A,B\) são congruentes se \(B = P^tAP\) para alguma \(P\) invertível.
Compare: \[\text{operador:}\ \ A\mapsto P^{-1}AP\ \ \text{(semelhança, \href{def-semelh.html}{Definição 3.15})}\qquad\qquad \text{forma:}\ \ A\mapsto P^tAP\ \ \text{(congruência)}.\] As duas coincidem quando \(P\) é ortogonal. A semelhança preserva autovalores; a congruência não: com \(P = 2I\), \(P^tAP = 4A\) tem autovalores quatro vezes maiores. O que a congruência preserva é a assinatura (Teorema 9.20).
Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados
Seja \(q(x) = x^tAx\) em \(\R^n\), com autovalores \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) de \(A\).
(Redução ortogonal.) Existe \(Q\) ortogonal com \(q(Qy) = \lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\).
(Redução de Sylvester.) Existe \(P\) invertível com \(q(Pz) = z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+m}^2\), onde \(p\) e \(m\) são os números de autovalores positivos e negativos.
Demonstração
(a) Pelo Teorema 9.5, \(A = QDQ^t\); então \(q(Qy) = y^tQ^tAQy = y^tDy\). (b) Ordene os autovalores com os positivos primeiro, depois os negativos, depois os nulos, e ponha \(y_i = z_i/\sqrt{|\lambda_i|}\) quando \(\lambda_i\neq0\) e \(y_i = z_i\) quando \(\lambda_i = 0\). Isto é, \(P = Q\,\mathrm{diag}(c_i)\) com \(c_i = 1/\sqrt{|\lambda_i|}\) ou \(1\).
Redução de \(5x^2-4xy+8y^2\)
\(q(x,y) = 5x^2-4xy+8y^2\), \(A = \left(\begin{smallmatrix}5&-2\\-2&8\end{smallmatrix}\right)\): \(\tr A = 13\), \(\det A = 36\), autovalores \(4\) e \(9\), com autovetores \((2,1)\) e \((1,-2)\) (ortogonais, como deviam). Com \(Q = \frac{1}{\sqrt5}\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&-2\end{smallmatrix}\right)\), \[q = 4y_1^2+9y_2^2 = z_1^2+z_2^2\qquad(z_1 = 2y_1,\ z_2 = 3y_2).\] A curva \(q = 36\) é a elipse \(\frac{y_1^2}{9}+\frac{y_2^2}{4} = 1\), com semi-eixos \(3\) e \(2\) nas direções de \((2,1)\) e \((1,-2)\) — é a cônica do Exemplo 9.32.
Redução de Sylvester por completamento de quadrados
Esta redução chega ao item (b) do Teorema 9.16 sem usar autovalores. Para \(q = 5x^2-4xy+8y^2\), junte os termos em \(x\) e complete o quadrado: \[q = 5\Big(x^2-\tfrac45xy\Big)+8y^2 = 5\Big(x-\tfrac25y\Big)^2-\tfrac45y^2+8y^2 = 5\Big(x-\tfrac25y\Big)^2+\tfrac{36}{5}y^2.\] Com \(w_1 = x-\frac25y\), \(w_2 = y\) (uma mudança de coordenadas invertível, triangular), \(q = 5w_1^2+\frac{36}{5}w_2^2\), e reescalando, \(q = z_1^2+z_2^2\). Em geral: se algum coeficiente de \(x_i^2\) é não nulo, completa-se o quadrado nessa variável e repete-se com as restantes; se todos são nulos e há um termo \(x_ix_j\), a substituição \(x_i = u+v\), \(x_j = u-v\) cria quadrados (\(x_ix_j = u^2-v^2\)).
Note que os coeficientes obtidos (\(5\) e \(\frac{36}{5}\)) não são os autovalores (\(4\) e \(9\)). O que coincide são os sinais. É a lei de inércia (Teorema 9.20).
As três formas reduzidas de \(\R^2\)
As curvas de nível das três formas reduzidas de \(\R^2\) não nulas (a menos de sinal). Azul: \(q>0\); rosa: \(q<0\); tracejado ou cinza: \(q = 0\). Toda forma em \(\R^2\) é uma dessas três, ou a sua negativa, depois de uma mudança de coordenadas — e a lei de inércia (Teorema 9.20) diz que ela não pode ser duas delas ao mesmo tempo.
Lei de inércia de Sylvester
Seja \(q\) uma forma quadrática em \(V\), \(\dim V = n\), e suponha que numa base \((e'_1,\ldots,e'_n)\) se tenha \[q\Big(\sum_iz_ie'_i\Big) = z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+m}^2.\] Então \(p\) é a maior dimensão de um subespaço \(W\subset V\) em que \(q\) é positiva definida (\(q(w)>0\) para \(w\in W\), \(w\neq0\)). Em particular, \(p\) não depende da base; nem \(m\) (aplique o mesmo a \(-q\)).
A lei de inércia em \(\R^3\) para \(q = x^2+y^2-z^2\). O cone é \(q = 0\); fora dele, \(q>0\) é a região “do lado” e \(q<0\) a região “de dentro” do cone. Qualquer subespaço de dimensão \(3\) encontra o eixo \(z\), onde \(q\leq0\); logo \(2\) é a maior dimensão em que \(q\) é positiva definida, qualquer que seja a redução escolhida.
A demonstração é uma contagem de dimensões, a mesma do Exemplo 2.87. Na figura: há planos inclinados onde \(q>0\) (qualquer plano que não entre no cone), mas nenhum subespaço de dimensão \(3\).
Demonstração
Em \(P_+ = [e'_1,\ldots,e'_p]\), \(q = z_1^2+\cdots+z_p^2>0\) fora da origem: existe um subespaço de dimensão \(p\) onde \(q\) é positiva definida. Seja agora \(W\) qualquer subespaço onde \(q\) é positiva definida, e \(N = [e'_{p+1},\ldots,e'_n]\), onde \(q = -z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+m}^2\leq0\). Se \(\dim W>p\), então \[\dim W+\dim N>p+(n-p) = n,\] e pela fórmula da dimensão da soma (Teorema 2.85), \(W\cap N\neq\{0\}\). Um \(v\neq0\) em \(W\cap N\) teria \(q(v)>0\) e \(q(v)\leq0\). Logo \(\dim W\leq p\).
Assinatura de uma forma quadrática
A assinatura de \(q\) (ou de \(A\)) é o par \((p,m)\).
Assinatura, autovalores e congruência
\(p\) e \(m\) são os números de autovalores positivos e negativos de \(A\) (contados com multiplicidade), e \(p+m = \posto A\).
Duas simétricas são congruentes se e somente se têm a mesma assinatura (e a mesma ordem).
Demonstração
(a) A redução de Sylvester do Teorema 9.16 tem \(p\) e \(m\) iguais a esses números, e pelo teorema qualquer outra tem os mesmos. O posto não muda por \(A\mapsto P^tAP\) (multiplicar por invertíveis), e o posto de \(\mathrm{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0)\) é \(p+m\). (b) Se têm a mesma assinatura, as duas são congruentes à mesma matriz diagonal de \(\pm1\) e \(0\); reciprocamente, \(B = P^tAP\) significa que \(B\) é a matriz de \(q\) noutra base, e a assinatura não depende da base.
Formas positivas definidas: cinco caracterizações
Para \(A\) simétrica, são equivalentes: (a) \(q\) é positiva definida; (b) todos os autovalores de \(A\) são positivos; (c) a assinatura é \((n,0)\); (d) \(A = B^tB\) com \(B\) invertível; (e) \(\langle u,v\rangle_A = u^tAv\) é um produto interno.
Pelo item (e), todo produto interno em \(\R^n\) é \(u^tAv\) com \(A\) positiva definida, e Gram–Schmidt (Teorema 6.17) é, nessa linguagem, uma redução de Sylvester de \(A\) à identidade por uma \(P\) triangular.
Demonstração
(a)\(\iff\)(b): Proposição 9.6: \(\min_{\|x\|=1}q(x) = \lambda_{\min}\). (b)\(\iff\)(c): Corolário 9.22(a). (c)\(\Rightarrow\)(d): \(P^tAP = I\) dá \(A = (P^{-1})^tP^{-1}\). (d)\(\Rightarrow\)(a): \(x^tB^tBx = \|Bx\|^2>0\) se \(x\neq0\). (a)\(\iff\)(e): é a definição de produto interno (Definição 6.2), dada a bilinearidade e a simetria.
A assinatura de \(2xy+2yz+2zx\)
\(q = 2xy+2yz+2zx\), \(A = \left(\begin{smallmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0 \end{smallmatrix}\right) = J-I\), com \(J\) a matriz de \(1\)’s. Os autovalores de \(J\) são \(3,0,0\) (posto \(1\), traço \(3\)), logo os de \(A\) são \(2,-1,-1\): assinatura \((1,2)\). Conferência por substituição: com \(x = u+v\), \(y = u-v\), \(q = 2u^2-2v^2+4uz = 2(u+z)^2-2v^2-2z^2\): um sinal \(+\) e dois \(-\).
Diagonal e determinante positivos não bastam
A armadilha. \(A = \left(\begin{smallmatrix}1&2&2\\2&1&2\\ 2&2&1\end{smallmatrix}\right) = 2J-I\) tem diagonal positiva e \(\det A = 5\cdot(-1)^2 = 5>0\), mas autovalores \(5,-1,-1\): não é positiva definida; \(q(1,-1,0) = 1-4+1 = -2\). Em \(2\times2\) a armadilha não existe (\(a>0\) e \(\det>0\) bastam, porque \(\det\) é o produto dos dois autovalores e \(a>0\) exclui os dois negativos); em \(3\times3\) o determinante positivo é compatível com dois autovalores negativos.
Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas
Sejam \(A,B\) simétricas com \(B\) positiva definida. Existe \(P\) invertível com \(P^tBP = I\) e \(P^tAP\) diagonal; os elementos diagonais são as raízes de \(\det(A-\lambda B) = 0\).
Em mecânica, com \(B\) a energia cinética e \(A\) a potencial de um sistema de massas e molas, as raízes de \(\det(A-\lambda B) = 0\) são os quadrados das frequências dos modos normais. É um produto interno (\(B\)) e uma forma (\(A\)) diagonalizados juntos.
Demonstração
Pela Proposição 9.23, \(P_1^tBP_1 = I\) para alguma \(P_1\). A matriz \(P_1^tAP_1\) é simétrica: \(P_1^tAP_1 = QDQ^t\) (Teorema 9.5). Com \(P = P_1Q\): \(P^tBP = Q^tQ = I\) e \(P^tAP = D\). E \(\det(A-\lambda B) = \det\big((P^t)^{-1}(D-\lambda I)P^{-1}\big) = \det(D-\lambda I)/(\det P)^2\).
Mesma assinatura implica mesmos autovalores?
Verdadeiro ou falso? Duas matrizes simétricas reais com a mesma assinatura têm os mesmos autovalores.
Resolução
Falsa. \(I\) e \(2I\) (\(2\times2\)) têm assinatura \((2,0)\) e autovalores diferentes. São congruentes (\(2I = P^tIP\) com \(P = \sqrt2I\)) e não são semelhantes.
Mesmos autovalores implicam mesma assinatura?
Verdadeiro ou falso? Duas matrizes simétricas reais com os mesmos autovalores têm a mesma assinatura.
Com o exercício Exercício 9.27: a congruência vê só os sinais, a semelhança vê os valores.
Resolução
Verdadeira. A assinatura é o número de autovalores positivos e negativos (Corolário 9.22(a)). (Mais: pelo teorema espectral, as duas são ortogonalmente semelhantes à mesma diagonal, logo semelhantes e congruentes.)