Proposição 7.4

Formas simétricas e alternadas

A demonstração exigeProposição 7.3Matriz de uma forma bilinear Exemplo 2.28\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)

\(\beta\) é simétrica \(\iff[\beta]_B\) é simétrica; \(\beta\) é alternada \(\iff\beta(u,v) = -\beta(v,u)\) para todos \(u,v\) \(\iff[\beta]_B\) é antissimétrica. E \(\operatorname{Bil}(V) = \Simet(V)\oplus\Alt(V)\), com \[\beta = \underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)+\beta(v,u)\big)}_{\text{simétrica}} +\underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)-\beta(v,u)\big)}_{\text{alternada}}.\]

Demonstração

Se \(\beta\) é alternada, expandindo \(0 = \beta(u+v,u+v) = \beta(u,v)+\beta(v,u)\). Reciprocamente, \(\beta(v,v) = -\beta(v,v)\) dá \(\beta(v,v) = 0\). As afirmações sobre matrizes são a Proposição 7.3 lida nas entradas. A decomposição é a de \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), transportada pelo isomorfismo.

Usado emDefinição 9.12Forma quadrática Exemplo 7.5O produto interno como forma bilinear Exemplo 7.6A forma alternada \(\det(x\ y)\) em \(\R^2\)Exemplo 7.7O produto de dois funcionais e a sua parte alternada Exercício 7.16Em dimensão ímpar, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?Exercício 7.17Em dimensão par, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?

Usado em demonstrações deProposição 7.9Propriedades das formas alternadas

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