Matriz de uma forma bilinear
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\) e \(M = [\beta]_B = (\beta(v_i,v_j))_{i,j}\). Então \[\beta(u,v) = [u]_B^t\,M\,[v]_B,\] e \(\beta\mapsto[\beta]_B\) é um isomorfismo \(\operatorname{Bil}(V)\to\Mat{n}{n}\); em particular \(\dim\operatorname{Bil}(V) = n^2\). Se \(P = [I]_{BB'}\), então \([\beta]_{B'} = P^t[\beta]_BP\).
Atenção à fórmula de mudança de base: \(P^tMP\), e não \(P^{-1}MP\) como para operadores (Teorema 3.14). A mesma matriz quadrada pode representar um operador ou uma forma bilinear, e as duas leituras mudam de base de modos diferentes (Definição 9.15).
Demonstração
Com \(u = \sum_ix_iv_i\) e \(v = \sum_jy_jv_j\), a bilinearidade dá \(\beta(u,v) = \sum_{i,j}x_iy_j\beta(v_i,v_j) = x^tMy\). A aplicação \(\beta\mapsto M\) é linear, injetora (se \(M = 0\), a fórmula dá \(\beta = 0\)) e sobrejetora (dada \(M\), a fórmula define uma forma bilinear). Para a mudança de base: \([u]_B = P[u]_{B'}\), logo \(\beta(u,v) = [u]_{B'}^tP^tMP[v]_{B'}\).