Mudança entre bases ortonormais: matrizes ortogonais
Sejam \(B\) e \(B'\) bases ortonormais de \(V\) e \(Q = [I]_{BB'}\). Então \(Q^tQ = I\), isto é, \(Q^{-1} = Q^t\).
Uma matriz com \(Q^tQ = I\) chama-se ortogonal. Suas colunas são uma base ortonormal de \(\R^n\). As rotações de \(\R^2\) são o exemplo principal.
Demonstração
A coluna \(j\) de \(Q\) é \([u'_j]_B\). Pela Proposição 6.15, o produto escalar das colunas \(i\) e \(j\) é \(\langle u'_i,u'_j\rangle = \delta_{ij}\), que é a entrada \((i,j)\) de \(Q^tQ\).
cor-ortog