Coordenadas numa base ortonormal

Seja \((u_1,\ldots,u_n)\) base ortonormal de \(V\). Então, para todos \(v,w\in V\), \[v = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\,u_i\qquad\text{e}\qquad \langle v,w\rangle = \sum_{i=1}^n\langle v,u_i\rangle\langle w,u_i\rangle.\] Isto é: as coordenadas são produtos internos, e numa base ortonormal o produto interno de \(V\) vira o produto escalar das coordenadas.

Compare com o Teorema 5.9: lá, as coordenadas eram os funcionais da base dual, \(v_i^*(v)\), e calculá-los exigia inverter uma matriz (Proposição 5.11). Aqui \(v_i^* = \langle\cdot,u_i\rangle\), e o cálculo é um produto interno. É a primeira aparição do isomorfismo \(V\iso V^*\) dado pelo produto interno (Teorema 6.34).