A base dual dá as coordenadas
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\). Então:
para todo \(v\in V\), \(\ v = \sum_{i=1}^nv_i^*(v)\,v_i\); isto é, \([v]_B = \big(v_1^*(v),\ldots,v_n^*(v)\big)\);
para todo \(\varphi\in V^*\), \(\ \varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*\);
\(B^*\) é base de \(V^*\).
O item (a) em uma frase: os elementos da base dual são as funções coordenada; \(v_i^*\) é “a \(i\)-ésima coordenada na base \(B\)”. Os itens (a) e (b) são simétricos: em (a) as coordenadas de um vetor são os valores dos funcionais da base dual; em (b) as coordenadas de um funcional são os seus valores nos vetores da base.
Demonstração
(a) Escreva \(v = \sum_ja_jv_j\). Aplicando \(v_i^*\): \(v_i^*(v) = \sum_ja_j\delta_{ij} = a_i\).
(b) Os dois lados são funcionais lineares, e coincidem em cada \(v_j\): \(\sum_i\varphi(v_i)v_i^*(v_j) = \varphi(v_j)\). Dois lineares que coincidem numa base são iguais.
(c) Por (b), \(B^*\) gera \(V^*\). São \(n\) vetores num espaço de dimensão \(n\) (Proposição 5.7), logo formam base (Corolário 2.81). Diretamente: se \(\sum_ic_iv_i^* = 0\), aplicando a \(v_j\) vem \(c_j = 0\).