\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\)

\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\). Em \(\R^2\), com \(B = (e_1,e_2)\), temos \(e_1^*(x,y) = x\). Com \(B' = (e_1,\ e_1+e_2)\), o primeiro funcional dual \(\psi\) deve valer \(1\) em \(e_1\) e \(0\) em \(e_1+e_2\): \(\psi(x,y) = x-y\). O primeiro vetor é o mesmo nas duas bases; o primeiro funcional dual, não. Por isso a notação \(v_i^*\) é perigosa: ela sugere que existe “o dual de um vetor”, e não existe.

O primeiro vetor das duas bases é o mesmo, \(e_1\); os primeiros funcionais duais são diferentes. À esquerda as retas de nível são paralelas a \(e_2\); à direita, paralelas a \(e_1+e_2\). O funcional dual a \(e_1\) tem de se anular no resto da base, e o resto mudou.

A pergunta “quanto vale a primeira coordenada de \(v = (2,1)\)?” tem duas respostas diferentes, \(2\) e \(1\), e a figura mostra por quê. Não existe uma operação \(v\mapsto v^*\) sobre vetores: um isomorfismo \(V\to V^*\) exige uma escolha (Nota 5.20), e um produto interno é uma dessas escolhas (Teorema 6.34).