Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações
Sejam \(t_0,\ldots,t_n\in\R\) distintos e \(\varepsilon_i(p) = p(t_i)\) em \(\Pol{n}\). O determinante de Vandermonde (Exemplo 4.29) mostra que \(p\mapsto(p(t_0),\ldots,p(t_n))\) é um isomorfismo; aqui isso ganha uma leitura no dual.
Os polinômios de Lagrange \[\ell_j(t) = \prod_{k\neq j}\frac{t-t_k}{t_j-t_k},\qquad j = 0,\ldots,n,\] formam uma base de \(\Pol{n}\), e \((\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n)\) é a sua base dual. Em particular, \((\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n)\) é base de \(\Pol{n}^*\), e todo \(p\in \Pol{n}\) se escreve \[p = \sum_{i=0}^np(t_i)\,\ell_i.\]
Os três polinômios de Lagrange de \(\Pol{2}\) para os nós \(0,\tfrac12,1\). Cada um vale \(1\) no seu nó e \(0\) nos outros dois: é a relação \(\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}\) desenhada. Para reconstruir um \(p\) de grau \(\leq2\) a partir de \(p(0),p(\frac12),p(1)\), basta somar as três curvas com esses pesos.
Demonstração
Cada \(\ell_j\) tem grau \(n\), vale \(1\) em \(t_j\) e \(0\) nos demais \(t_k\): isto é, \(\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}\). Os \(\ell_j\) são LI: se \(\sum_jc_j\ell_j = 0\), avaliando em \(t_i\) vem \(c_i = 0\). São \(n+1\) vetores LI em \(\Pol{n}\), logo base; e as relações \(\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}\) dizem que \((\varepsilon_i)\) é a base dual. A fórmula final é o Teorema 5.9(a).