Regra de Simpson

Seja \(\varphi(p) = \int_0^1p(t)\,dt\) em \(\Pol{2}\), com nós \(0,\tfrac12,1\). Pelo Teorema 5.9(b), \(\varphi = \sum_i\varphi(\ell_i)\,\varepsilon_i\). Com \(\ell_0 = 2(t-\tfrac12)(t-1)\), \(\ell_1 = -4t(t-1)\), \(\ell_2 = 2t(t-\tfrac12)\), as integrais valem \(\tfrac16,\tfrac23,\tfrac16\). Logo, para todo \(p\) de grau \(\leq2\), \[\int_0^1p(t)\,dt = \tfrac16\,p(0)+\tfrac46\,p(\tfrac12)+\tfrac16\,p(1).\] Não é uma aproximação: é uma igualdade em \(\Pol{2}^*\), que tem dimensão \(3\).

Teste em \(p = t^2\): \(\tfrac16\cdot0+\tfrac46\cdot\tfrac14+\tfrac16\cdot1 = \tfrac13\). A moral: um funcional em dimensão \(3\) fica determinado por \(3\) números; se três avaliações formam base, a integral é uma combinação delas.