Início · Capítulo 5 · Dualidade e quocientes
\(V\iso V^*\) depende de escolha. Uma base \(B\) dá um isomorfismo \(\Phi_B:V\to V^*\), o que manda \(v_i\) em \(v_i^*\). Em \(\R^2\), com \(B = (e_1,e_2)\) temos \(\Phi_B(e_1) = e_1^*\), o funcional \((x,y)\mapsto x\). Com \(B' = (e_1,e_1+e_2)\) temos \(\Phi_{B'}(e_1)\) igual ao funcional \((x,y)\mapsto x-y\) (Nota 5.10). O mesmo vetor \(e_1\) vai em funcionais diferentes: não há um isomorfismo \(V\to V^*\) preferido.
O duplo dual de \(V\) é \(V^{**} = (V^*)^*\). A aplicação de avaliação é \[\mathrm{ev}:V\to V^{**},\qquad \mathrm{ev}(v)(\varphi) = \varphi(v).\] Em palavras: um vetor \(v\) é visto como a função “avaliar em \(v\)”, que come um funcional e devolve um número.
Se \(v\in V\) e \(\varphi(v) = 0\) para todo \(\varphi\in V^*\), então \(v = 0\).
Se \(v\neq0\), complete \((v)\) a uma base \((v,v_2,\ldots,v_n)\) de \(V\) (Teorema 2.79). O primeiro funcional da base dual vale \(1\) em \(v\).
\(\mathrm{ev}\) é um isomorfismo, e sua definição não usa escolha nenhuma. Além disso, para toda base \(B\) de \(V\), a base dual de \(B^*\) é \(\mathrm{ev}(B)\).
Os isomorfismos \(V\to V^*\) vêm em família, um para cada base, e bases diferentes dão isomorfismos diferentes. O isomorfismo \(V\to V^{**}\) é um só, e é definido sem mencionar base. É isso que a palavra canônico quer dizer.
Este é o sentido correto da palavra “canônico”. Na Nota 2.68 (“só \(\R^n\) tem base canônica”), canônico queria dizer que a escolha já vinha feita; aqui, que não há escolha a fazer. Identificamos \(V\) com \(V^{**}\) via \(\mathrm{ev}\) e escrevemos \(v(\varphi) = \varphi(v)\): os elementos de \(V^{**}\) são os vetores de \(V\), agindo por avaliação.
\(\mathrm{ev}(v)\) é linear em \(\varphi\) porque as operações de \(V^*\) são ponto a ponto: \(\mathrm{ev}(v)(\varphi+\lambda\psi) = \varphi(v)+\lambda\psi(v)\). E \(\mathrm{ev}\) é linear em \(v\) porque cada \(\varphi\) é linear. Se \(\mathrm{ev}(v) = 0\), então \(\varphi(v) = 0\) para todo \(\varphi\), e \(v = 0\) pelo Lema 5.22. Logo \(\mathrm{ev}\) é injetora; como \(\dim V^{**} = \dim V^* = \dim V\), é isomorfismo (Corolário 2.93).
Para a última afirmação: \(\mathrm{ev}(v_i)(v_j^*) = v_j^*(v_i) = \delta_{ij}\), que é a relação que define a base dual de \(B^*\).
Seja \(S\subset V\) um subconjunto. O anulador de \(S\) é \[S^0 = \{\varphi\in V^*:\ \varphi(s) = 0\ \text{para todo}\ s\in S\}\subset V^*.\]
Seja \(S\) subespaço de \(V\), \(\dim V = n\) e \(\dim S = k\). Então \(S^0\) é subespaço de \(V^*\) e \(\dim S^0 = n-k\). Mais precisamente: se \((v_1,\ldots,v_k)\) é base de \(S\) e \((v_1,\ldots,v_n)\) é uma base de \(V\) que a completa, então \((v_{k+1}^*,\ldots,v_n^*)\) é base de \(S^0\).
\(S^0\) é subespaço: se \(\varphi,\psi\) se anulam em \(S\), \(\varphi+\lambda\psi\) também. Para \(j>k\), \(v_j^*\) se anula em \(v_1,\ldots,v_k\), logo em \(S\): \(v_j^*\in S^0\). Os \(v_j^*\) são LI (são parte de uma base). Geram \(S^0\): se \(\varphi\in S^0\), então \[\varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^* = \sum_{i=k+1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*,\] porque \(\varphi(v_i) = 0\) para \(i\leq k\).
Todo hiperplano \(H\) de \(V\) é o núcleo de um funcional não nulo, e dois funcionais não nulos com o mesmo núcleo são múltiplos um do outro.
\(\dim H^0 = n-(n-1) = 1\). Um \(\varphi\neq0\) em \(H^0\) tem \(H\subset N(\varphi)\), e os dois têm dimensão \(n-1\) (Proposição 5.7), logo \(H = N(\varphi)\). Se \(N(\psi) = H\), então \(\psi\in H^0\), que é a reta \([\varphi]\).
O anulador em \(\R^n\) são as equações. Identifique um funcional em \(\R^n\) com seu vetor-linha \(y = (y_1\ \cdots\ y_n)\). Se \(S = [u_1,\ldots,u_k]\subset\R^n\), então \[y\in S^0\iff yu_1 = \cdots = yu_k = 0,\] isto é, \(S^0\) é o espaço solução do sistema homogêneo cujas linhas são os \(u_i\) (nas incógnitas \(y_1,\ldots,y_n\)). E um vetor-linha \(y\in S^0\) é o vetor de coeficientes de uma equação \(y_1x_1+\cdots+y_nx_n = 0\) satisfeita por todo \(x\in S\). Uma base de \(S^0\) é um sistema de equações mínimo para \(S\) — e o Corolário 5.31 garante que essas equações definem exatamente \(S\).
Seja \[S = [(1,2,-1,0),\,(0,1,1,1)]\subset\R^4.\] Os dois vetores são LI, \(\dim S = 2\), logo \(\dim S^0 = 2\). O sistema \[y_1+2y_2-y_3 = 0,\qquad y_2+y_3+y_4 = 0\] tem \(y_3,y_4\) livres: \(y_2 = -y_3-y_4\) e \(y_1 = -2y_2+y_3 = 3y_3+2y_4\). Uma base de \(S^0\): \[(3,-1,1,0),\qquad(2,-1,0,1).\] Portanto \[S = \{(x,y,z,w):\ 3x-y+z = 0,\ \ 2x-y+w = 0\}.\] Confira: \((1,2,-1,0)\) dá \(3-2-1 = 0\) e \(2-2+0 = 0\).
É o Exemplo 3.39, agora com nome. A receita: para achar equações de \(S = [u_1,\ldots,u_k]\), resolva o sistema cujas linhas são os \(u_i\); cada solução é uma equação de \(S\), e uma base das soluções é um sistema mínimo. O número mínimo de equações é \(n-\dim S\).
O anulador de uma reta \(S\subset\R^3\). Cada funcional não nulo em \(S^0\) tem um plano por núcleo, e esse plano contém \(S\). Os planos que contêm a reta formam um leque a um parâmetro (por isso \(\dim S^0 = 2\): um parâmetro de direção e um de escala). Dois planos quaisquer do leque já cortam exatamente a reta.
Sejam \(S,S_1,S_2\) subespaços de \(V\).
\(S_1\subset S_2\Rightarrow S_2^0\subset S_1^0\); \(\{0\}^0 = V^*\) e \(V^0 = \{0\}\).
\((S_1+S_2)^0 = S_1^0\cap S_2^0\) e \((S_1\cap S_2)^0 = S_1^0+S_2^0\).
(a) Um funcional que se anula em \(S_2\) se anula em \(S_1\subset S_2\). Os dois casos extremos são a definição e o Lema 5.22.
(b) Um funcional se anula em \(S_1+S_2\) se e somente se se anula em \(S_1\) e em \(S_2\) (pela linearidade). Isso dá a primeira igualdade. Na segunda, a inclusão \(\supset\) vem de (a): \(S_1\cap S_2\subset S_i\) dá \(S_i^0\subset(S_1\cap S_2)^0\), e esse é um subespaço. Para a igualdade, contamos dimensões com a fórmula da soma (Teorema 2.85), a primeira igualdade e a Proposição 5.25. Escrevendo \(s_i = \dim S_i\): \[\begin{align*} \dim(S_1^0+S_2^0) &= (n-s_1)+(n-s_2)-\dim(S_1^0\cap S_2^0)\\ &= (n-s_1)+(n-s_2)-\big(n-\dim(S_1+S_2)\big)\\ &= n-\big(s_1+s_2-\dim(S_1+S_2)\big) = n-\dim(S_1\cap S_2) = \dim(S_1\cap S_2)^0. \end{align*}\]
Identificando \(V\) com \(V^{**}\) via \(\mathrm{ev}\), vale \((S^0)^0 = S\) para todo subespaço \(S\). Em termos de equações: um vetor que satisfaz todas as equações lineares satisfeitas por \(S\) está em \(S\).
\((S^0)^0\subset V^{**}\), e \(\mathrm{ev}(S)\subset(S^0)^0\): se \(s\in S\) e \(\varphi\in S^0\), então \(\mathrm{ev}(s)(\varphi) = \varphi(s) = 0\). As dimensões: \(\dim(S^0)^0 = n-(n-k) = k = \dim\mathrm{ev}(S)\).
O dicionário da Proposição 5.30. A passagem ao anulador vira o desenho de cabeça para baixo: o que era pequeno fica grande, a soma vai na interseção e a interseção vai na soma, e a dimensão \(k\) vai em \(n-k\). O Corolário 5.31 diz que fazer isso duas vezes devolve o desenho original.
Em palavras, \((S_1+S_2)^0 = S_1^0\cap S_2^0\) diz: as equações da soma são as equações comuns. E \((S_1\cap S_2)^0 = S_1^0+S_2^0\): para obter equações da interseção, junte as equações dos dois — é o que se faz ao calcular uma interseção. Atenção: a igualdade \((S_1\cap S_2)^0 = S_1^0\cap S_2^0\) é falsa; tome duas retas distintas em \(\R^2\).
Seja \(T:V\to W\) linear, \(\dim V = n\), \(\dim W = m\). Então \[N(T^*) = \Ima(T)^0\qquad\text{e}\qquad \Ima(T^*) = \Nuc(T)^0.\] Em particular, \(\dim\Ima(T^*) = \dim\Ima(T)\).
Os quatro subespaços. Em cima, núcleo e imagem de \(T\); embaixo, os de \(T^*\). Cada um de baixo é o anulador do de cima, trocando os papéis: a imagem de \(T^*\) anula o núcleo de \(T\), e o núcleo de \(T^*\) anula a imagem de \(T\). As cores marcam os dois pares de mesma dimensão.
Primeira. \(\varphi\in N(T^*)\iff\varphi\circ T = 0\iff\varphi(T(v)) = 0\) para todo \(v\iff\varphi\) se anula em \(\Ima(T)\).
Segunda. Se \(\psi = \varphi\circ T\) e \(v\in \Nuc(T)\), então \(\psi(v) = \varphi(0) = 0\): isso dá \(\Ima(T^*)\subset \Nuc(T)^0\). Seja \(r = \dim\Ima(T)\). Pela primeira igualdade, pelo Teorema 2.92 e pela Proposição 5.25, \[\dim\Ima(T^*) = m-\dim N(T^*) = m-(m-r) = r,\qquad \dim \Nuc(T)^0 = n-(n-r) = r.\] Os dois têm a mesma dimensão, e um contém o outro.
Posto por linhas \(=\) posto por colunas. Para \(A\in\Mat{m}{n}\), o número máximo de colunas LI de \(A\) é igual ao número máximo de linhas LI.
No Teorema 3.34 esse resultado saiu do escalonamento, com contas. Aqui ele sai de duas linhas, e a demonstração não usa matriz nenhuma: é um fato sobre \(T\) e \(T^*\). Da mesma fórmula saem: \(T\) injetora \(\iff T^*\) sobrejetora, e \(T\) sobrejetora \(\iff T^*\) injetora.
O posto por colunas é \(\dim\Ima(T_A)\) (Definição 3.23). A matriz de \(T_A^*\) nas bases duais das canônicas é \(A^t\) (Teorema 5.17), cujas colunas são as linhas de \(A\); logo o posto por linhas é \(\dim\Ima(T_A^*)\). O teorema diz que são iguais.
O sistema \(AX = b\) tem solução se e somente se \(yb = 0\) para todo vetor-linha \(y\) com \(yA = 0\).
\(AX = b\) tem solução \(\iff b\in\Ima(T_A) = (\Ima(T_A)^0)^0 = N(T_A^*)^0\), pelo Corolário 5.31 e pelo Teorema 5.33. E \(N(T_A^*) = \{y: yA = 0\}\) (Exemplo 5.19).
Para \(A = \begin{pmatrix}1&1\\1&2\\2&3\end{pmatrix}\), as soluções de \(yA = 0\) são \(y_1+y_2+2y_3 = 0\) e \(y_1+2y_2+3y_3 = 0\), isto é, \(y = t(-1,-1,1)\). Logo \(AX = b\) tem solução se e somente se \(b_3 = b_1+b_2\). A condição lê a relação entre as linhas de \(A\) (terceira \(=\) primeira \(+\) segunda), e é a única condição: toda obstrução à solubilidade vem de uma combinação das equações que zera o lado esquerdo.
Verdadeiro ou falso? Se \(T:V\to V\) é linear e \(T(S)\subset S\), então \(T^*(S^0)\subset S^0\).
Verdadeira. Seja \(\varphi\in S^0\). Para \(s\in S\), \((T^*\varphi)(s) = \varphi(T(s)) = 0\), porque \(T(s)\in S\). Logo \(T^*\varphi\in S^0\).