Equações de um subespaço de \(\R^4\) pelo anulador

Seja \[S = [(1,2,-1,0),\,(0,1,1,1)]\subset\R^4.\] Os dois vetores são LI, \(\dim S = 2\), logo \(\dim S^0 = 2\). O sistema \[y_1+2y_2-y_3 = 0,\qquad y_2+y_3+y_4 = 0\] tem \(y_3,y_4\) livres: \(y_2 = -y_3-y_4\) e \(y_1 = -2y_2+y_3 = 3y_3+2y_4\). Uma base de \(S^0\): \[(3,-1,1,0),\qquad(2,-1,0,1).\] Portanto \[S = \{(x,y,z,w):\ 3x-y+z = 0,\ \ 2x-y+w = 0\}.\] Confira: \((1,2,-1,0)\) dá \(3-2-1 = 0\) e \(2-2+0 = 0\).

É o Exemplo 3.39, agora com nome. A receita: para achar equações de \(S = [u_1,\ldots,u_k]\), resolva o sistema cujas linhas são os \(u_i\); cada solução é uma equação de \(S\), e uma base das soluções é um sistema mínimo. O número mínimo de equações é \(n-\dim S\).