\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)
O sistema \(AX=b\) tem solução se e somente se \(b\in\Ima(T_A) = [\,C_1,\ldots,C_n\,]\). Em particular, \(AX=b\) tem solução para todo \(b\in\R^m\) se e somente se as colunas de \(A\) geram \(\R^m\).
A pergunta da compatibilidade é uma pergunta de pertinência: \(b\) está ou não no subespaço gerado pelas colunas? Acrescentar \(b\) como uma coluna a mais faz o posto subir exatamente no caso incompatível — é isso que o Teorema 3.32 transforma num teste prático.
Demonstração
É a Nota 3.20 relida: existir \(X\) com \(AX=b\) é existir uma combinação linear das colunas igual a \(b\).
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