O conjunto solução é \(X_0+N(A)\)
Suponha que \(AX=b\) tenha alguma solução \(X_0\). Então o conjunto de todas as soluções é \[\{X\in\R^n : AX = b\} \;=\; X_0+N(A) \;=\; \{X_0+Y \,:\, AY = 0\}.\]
Demonstração
(\(\supseteq\)) Se \(AY=0\), então \(A(X_0+Y) = AX_0+AY = b+0 = b\).
(\(\subseteq\)) Se \(AX = b\), ponha \(Y = X-X_0\). Então \(AY = AX-AX_0 = b-b = 0\), isto é, \(Y\in N(A)\), e \(X = X_0+Y\).
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