Início · Capítulo 3 · Matrizes e sistemas lineares
Um sistema linear de \(m\) equações e \(n\) incógnitas é \[\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\ \ \ \vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \qquad\text{ou, em forma matricial,}\qquad AX = b,\] com \(A = (a_{ij})\in\Mat{m}{n}\), \(X\in\R^n\) e \(b\in\R^m\). A matriz \([\,A\mid b\,]\in\mathcal{M}_{m\times(n+1)}(\R)\) é a matriz ampliada. O sistema é homogêneo quando \(b=0\).
Há duas leituras da equação \(AX = b\):
Por linhas. Cada equação \(a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n = b_i\) descreve um hiperplano (afim) de \(\R^n\), e o conjunto solução é a interseção dos \(m\) hiperplanos.
Por colunas. Escrevendo \(A = [\,C_1\ \cdots\ C_n\,]\) em colunas, \[AX = x_1C_1+x_2C_2+\cdots+x_nC_n,\] de modo que resolver \(AX=b\) é perguntar de quantas maneiras \(b\) se escreve como combinação linear das colunas de \(A\).
A primeira leitura é a geométrica; a segunda é a que conecta os sistemas com combinações lineares, geradores e imagem.
O sistema \(AX=b\) tem solução se e somente se \(b\in\Ima(T_A) = [\,C_1,\ldots,C_n\,]\). Em particular, \(AX=b\) tem solução para todo \(b\in\R^m\) se e somente se as colunas de \(A\) geram \(\R^m\).
A pergunta da compatibilidade é uma pergunta de pertinência: \(b\) está ou não no subespaço gerado pelas colunas? Acrescentar \(b\) como uma coluna a mais faz o posto subir exatamente no caso incompatível — é isso que o Teorema 3.32 transforma num teste prático.
É a Nota 3.20 relida: existir \(X\) com \(AX=b\) é existir uma combinação linear das colunas igual a \(b\).
Suponha que \(AX=b\) tenha alguma solução \(X_0\). Então o conjunto de todas as soluções é \[\{X\in\R^n : AX = b\} \;=\; X_0+N(A) \;=\; \{X_0+Y \,:\, AY = 0\}.\]
(\(\supseteq\)) Se \(AY=0\), então \(A(X_0+Y) = AX_0+AY = b+0 = b\).
(\(\subseteq\)) Se \(AX = b\), ponha \(Y = X-X_0\). Então \(AY = AX-AX_0 = b-b = 0\), isto é, \(Y\in N(A)\), e \(X = X_0+Y\).
O posto de \(A\in\Mat{m}{n}\) é \(\posto A := \dim\Ima(T_A)\), isto é, a dimensão do subespaço gerado pelas colunas de \(A\). (Por isso ele também é chamado posto-coluna; o posto-linha dá o mesmo número: Teorema 3.34.)
Para toda \(A\in\Mat{m}{n}\) vale \(\dim N(A) = n-\posto A\). Em consequência, se \(AX=b\) é compatível, o seu conjunto solução é um subespaço afim de \(\R^n\) de dimensão \(n-\posto A\): um transladado do espaço solução do sistema homogêneo associado.
O teorema em uma figura. O conjunto solução de um sistema compatível é o espaço solução do homogêneo empurrado por uma solução particular qualquer. Ele tem a mesma dimensão, mas não passa pela origem — e por isso não é subespaço, a menos que \(b=0\).
Três leituras da figura: o conjunto solução não é subespaço, salvo se \(b=0\); trocar \(X_0\) por outra solução não muda o conjunto; e se \(N(A)=\{0\}\) ele se reduz a um ponto: a solução é única.
É o Teorema 2.92 aplicado a \(T_A:\R^n\to\R^m\): \(n = \dim N(T_A)+\dim\Ima(T_A)\). O resto é o Teorema 3.22.
Se \(m<n\) — mais incógnitas do que equações —, então o sistema homogêneo \(AX=0\) tem solução não trivial.
O enunciado é o do Lema 2.52, usado na demonstração do lema da troca (Lema 2.53); aqui ele sai da contagem de dimensões.
\(\posto A = \dim\Ima(T_A)\leq\dim\R^m = m<n\), logo \(\dim N(A) = n-\posto A>0\).
Uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das três:
trocar duas linhas de posição;
multiplicar uma linha por um escalar \(\lambda\neq0\);
somar a uma linha um múltiplo de outra.
Operações elementares sobre \([\,A\mid b\,]\) não alteram o conjunto solução de \(AX=b\). Mais ainda: elas não alteram \(N(A)\) nem o espaço gerado pelas linhas de \(A\).
Cada operação é reversível — (I) por si mesma, (II) multiplicando por \(\lambda^{-1}\), (III) subtraindo o mesmo múltiplo. Logo basta ver que toda solução do sistema antigo é solução do novo, o que é imediato: cada equação nova é combinação linear das antigas. Aplicando o mesmo raciocínio à operação inversa, os dois conjuntos solução coincidem. O mesmo argumento com \(b=0\) dá \(N(A)\) inalterado, e o fato de que cada linha nova é combinação das antigas (e vice-versa) dá o espaço-linha inalterado.
Em termos de matrizes: cada operação elementar é a multiplicação à esquerda por uma matriz \(E\) invertível (a matriz elementar correspondente, obtida aplicando a operação à identidade). Assim, escalonar é passar de \(AX=b\) para \((EA)X = Eb\), e a Proposição 3.27 vira a observação de que \(EAX = Eb \iff AX=b\) quando \(E\) é invertível.
Vale destacar o que não se preserva: as operações de linha mudam o espaço gerado pelas colunas. Elas preservam o núcleo e o espaço-linha, e é só isso que usaremos.
Uma matriz está na forma escada quando: as linhas nulas ficam abaixo das não nulas, e o primeiro elemento não nulo de cada linha — o pivô — está estritamente à direita do pivô da linha acima. A forma é reduzida quando, além disso, todo pivô vale \(1\) e é o único elemento não nulo da sua coluna.
Toda matriz pode ser levada a uma forma escada reduzida por uma sequência finita de operações elementares.
(O algoritmo de Gauss–Jordan.) Procure a primeira coluna não nula; troque linhas para pôr nela uma entrada não nula, divida a linha por essa entrada para o pivô virar \(1\), e some múltiplos dessa linha às demais para zerar o resto da coluna. Repita o procedimento na submatriz que sobra abaixo e à direita. Como a cada passo descemos uma linha, o processo termina em no máximo \(m\) passos.
Seja \(R\) uma forma escada de \(A\), com \(p\) pivôs. Então \(\posto A = p\) e \(\dim N(A) = n-p\).
Pela Proposição 3.27, \(N(R) = N(A)\). Em \(R\), atribuindo valores arbitrários às \(n-p\) variáveis livres, cada equação determina, de baixo para cima, a variável do pivô correspondente: existe uma e uma só solução para cada escolha. Isso exibe uma bijeção linear entre \(\R^{n-p}\) e \(N(R)\), logo \(\dim N(A) = \dim N(R) = n-p\). Pelo Corolário 3.24, \(\posto A = n-\dim N(A) = p\).
\(AX=b\) é compatível se e somente se, numa forma escada de \([\,A\mid b\,]\), não aparece nenhuma linha da forma \((\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)\) com \(c\neq0\); equivalentemente, se e somente se \(\posto A = \posto[\,A\mid b\,]\).
Uma linha \((\,0\ \cdots\ 0\mid c\,)\) com \(c\neq0\) é a equação \(0 = c\), impossível; e como o escalonamento preserva o conjunto solução, o sistema original também é impossível. Se nenhuma linha assim aparece, o algoritmo da Proposição 3.31 produz uma solução (atribua \(0\) às livres). Quanto à segunda formulação: acrescentar a coluna \(b\) faz o número de pivôs subir exatamente quando surge um pivô na última coluna, isto é, quando aparece uma linha daquele tipo.
A forma escada reduzida diz tudo de uma vez. As colunas com pivô dão as variáveis dependentes e contam o posto; as colunas sem pivô dão as variáveis livres e contam a dimensão do núcleo. A soma das duas é o número de colunas — que é o teorema do núcleo e da imagem (Corolário 3.24), agora visível a olho nu. E a última linha, no bloco de \(b\), é o teste de compatibilidade (Teorema 3.32).
Para toda \(A\in\Mat{m}{n}\), a dimensão do espaço gerado pelas linhas é igual à dimensão do espaço gerado pelas colunas.
Seja \(R\) a forma escada reduzida de \(A\), com \(p\) pivôs.
Pelas colunas: pela Proposição 3.31, o posto-coluna de \(A\) é \(p\).
Pelas linhas: pela Proposição 3.27, \(A\) e \(R\) geram o mesmo espaço-linha. As linhas não nulas de \(R\) são exatamente \(p\), e são LI: numa combinação linear nula delas, olhe a coluna do pivô da \(i\)-ésima linha — só ela contribui ali, logo o seu coeficiente é nulo. Portanto o posto-linha de \(A\) é \(p\).
Os dois valem \(p\).
\(\posto A = \posto A^t\); e \(\posto A\leq\min\{m,n\}\).
Uma matriz \(A\in\Mat{n}{n}\) é invertível se e somente se a sua forma escada reduzida é \(I_n\). Nesse caso, aplicando a \([\,A\mid I_n\,]\) as operações que levam \(A\) a \(I_n\), obtém-se \([\,I_n\mid A^{-1}\,]\).
\(A\) é invertível \(\iff T_A\) é isomorfismo (Corolário 3.10) \(\iff N(A) = \{0\}\) e \(\posto A = n\) \(\iff\) há \(n\) pivôs numa matriz \(n\times n\) \(\iff\) a forma escada reduzida é \(I_n\).
Para a segunda parte: se \(E_k\cdots E_1A = I\), então \(E_k\cdots E_1 = A^{-1}\); e aplicar as mesmas operações a \(I\) produz \(E_k\cdots E_1 I = A^{-1}\). Fazer as duas coisas ao mesmo tempo é justamente escalonar \([\,A\mid I\,]\).
Um sistema resolvido por completo. Considere \[\begin{cases} \ x+2y+3z+4w = 1\\ 2x+\ y+\ z-\ w = 2\\ 3x-2y+\ z-2w = 3. \end{cases}\] Escalonando a matriz ampliada: \[\left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&3&4&1\\ 2&1&1&-1&2\\ 3&-2&1&-2&3\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&3&4&1\\ 0&-3&-5&-9&0\\ 0&-8&-8&-14&0\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&3&4&1\\ 0&3&5&9&0\\ 0&0&-8&-15&0\end{array}\right].\] São três pivôs: \(\posto A = 3\), e como \(n=4\), o núcleo tem dimensão \(1\). O sistema é compatível (nenhuma linha \(0=c\)), e o conjunto solução é uma reta afim de \(\R^4\).
Uma solução particular salta à vista, \(X_0 = (1,0,0,0)\). Para o núcleo, resolvemos o homogêneo de baixo para cima com \(w = 8\): \[-8z = 15w \Rightarrow z = -15,\qquad 3y = -5z-9w = 75-72 = 3\Rightarrow y = 1,\] \[x = -2y-3z-4w = -2+45-32 = 11.\] Logo \(N(A) = [\,(11,1,-15,8)\,]\) e \[\{X : AX=b\} = (1,0,0,0)+t\,(11,1,-15,8),\qquad t\in\R.\]
Na figura do Corolário 3.24: o ponto é \(X_0\), a direção é \((11,1,-15,8)\), e a dimensão é \(1 = 4-3\). Com \(b = 0\), é o sistema do Exemplo 2.51.
Uma discussão. Discutir, segundo \(a\in\R\), \[\begin{cases} x+\ y+\ z = 1\\ x+2y+az = 2\\ x+ay+2z = a^2-2. \end{cases}\] Subtraindo a primeira linha das outras duas e depois eliminando: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 1&2&a&2\\ 1&a&2&a^2-2\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&a-1&1&a^2-3\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&0&-a(a-2)&(a-2)(a+1)\end{array}\right],\] onde na última linha usamos \(1-(a-1)^2 = -a(a-2)\) e \(a^2-3-(a-1) = (a-2)(a+1)\). Agora a discussão é a leitura da última linha:
\(a\neq0\) e \(a\neq2\): três pivôs, \(\posto A = 3 = n\). Sistema compatível determinado: solução única.
\(a=0\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid -2)\). Sistema incompatível.
\(a=2\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid 0)\). Dois pivôs, \(\posto A = 2\), \(\dim N(A) = 1\): sistema compatível indeterminado, com conjunto solução \[(0,1,0)+t\,(0,-1,1),\qquad t\in\R.\]
As três possibilidades, desenhadas com retas no plano — é a versão em uma dimensão a menos do que acontece com os três planos de \(\R^3\). Um sistema linear nunca tem exatamente duas soluções: ou nenhuma, ou uma, ou infinitas. O Teorema 3.22 é a razão — o conjunto solução, quando não é vazio, é um transladado de um subespaço.
As duas descrições de um subespaço. Um subespaço de \(\R^n\) pode ser dado por geradores ou por equações, e escalonar é o que traduz uma descrição na outra.
Tome \(S = [\,(1,2,-1,0),\ (0,1,1,1)\,]\subset\R^4\). Para achar equações, procuramos os \((c_1,c_2,c_3,c_4)\) que se anulam nos dois geradores: \[\begin{cases} c_1+2c_2-c_3 = 0\\ c_2+c_3+c_4 = 0.\end{cases}\] Esse sistema tem \(\posto 2\) e portanto espaço solução de dimensão \(2\); tomando \(c_3,c_4\) como livres, uma base é \((3,-1,1,0)\) e \((2,-1,0,1)\). Logo \[S = \{(x,y,z,w)\in\R^4 : 3x-y+z = 0 \ \text{ e } \ 2x-y+w = 0\}.\] Conferindo nos geradores: \(3-2-1 = 0\) e \(2-2+0=0\); \(0-1+1 = 0\) e \(0-1+1 = 0\).
Todo subespaço de \(\R^n\) tem duas descrições, e o escalonamento é o dicionário entre elas. Uma tem \(\dim S\) dados; a outra tem \(n-\dim S\). Esse par de descrições tem nome próprio: as equações são o anulador de \(S\) (Definição 5.24), e a soma das duas dimensões dar \(n\) não é coincidência.
O caminho de volta fecha o círculo: a partir das duas equações, resolver o sistema recupera os dois geradores.