Discussão de um sistema com parâmetro

Uma discussão. Discutir, segundo \(a\in\R\), \[\begin{cases} x+\ y+\ z = 1\\ x+2y+az = 2\\ x+ay+2z = a^2-2. \end{cases}\] Subtraindo a primeira linha das outras duas e depois eliminando: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 1&2&a&2\\ 1&a&2&a^2-2\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&a-1&1&a^2-3\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&1\\ 0&1&a-1&1\\ 0&0&-a(a-2)&(a-2)(a+1)\end{array}\right],\] onde na última linha usamos \(1-(a-1)^2 = -a(a-2)\) e \(a^2-3-(a-1) = (a-2)(a+1)\). Agora a discussão é a leitura da última linha:

• \(a\neq0\) e \(a\neq2\): três pivôs, \(\posto A = 3 = n\). Sistema compatível determinado: solução única.

• \(a=0\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid -2)\). Sistema incompatível.

• \(a=2\): a última linha vira \((0\ 0\ 0\mid 0)\). Dois pivôs, \(\posto A = 2\), \(\dim N(A) = 1\): sistema compatível indeterminado, com conjunto solução \[(0,1,0)+t\,(0,-1,1),\qquad t\in\R.\]

As três possibilidades, desenhadas com retas no plano — é a versão em uma dimensão a menos do que acontece com os três planos de \(\R^3\). Um sistema linear nunca tem exatamente duas soluções: ou nenhuma, ou uma, ou infinitas. O Teorema 3.22 é a razão — o conjunto solução, quando não é vazio, é um transladado de um subespaço.