Demonstrar e refutar

Um teorema, quatro roupas. O teorema do núcleo e da imagem aparece em quatro formas que parecem diferentes:

1. \(\dim V = \dim \Nuc(T)+\dim\Ima(T)\) (Teorema 2.92).

2. Se \(\dim V = \dim W\): injetora \(\iff\) sobrejetora \(\iff\) bijetora (Corolário 2.93).

3. \(n = \posto A+\dim N(A)\): número de colunas \(=\) pivôs \(+\) variáveis livres (Corolário 3.24, Proposição 3.31).

4. \(n\) vetores LI em dimensão \(n\) já formam base (Corolário 2.81) — que é (2) aplicado à transformação \(\R^n\to V\) que manda \(e_i\mapsto v_i\).

O mesmo teorema, quatro roupas: as caixas azuis são a caixa verde. Em cada uma, qual é a transformação linear escondida? Em “\(n\) vetores LI formam base” é \(T:\R^n\to V\), \(e_i\mapsto v_i\); em “sistemas” é \(T_A\).

“Falso” sem contra-exemplo não vale nada; “verdadeiro” sem demonstração também não. Um contra-exemplo é um objeto explícito, com todos os dados. “Existe uma matriz que…” não é contra-exemplo; \(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\ 0& 0\end{smallmatrix}\right)\) é. E um contra-exemplo em dimensão \(2\) vale tanto quanto um em dimensão \(17\) — e é bem mais fácil de escrever. Procure sempre o menor.

O procedimento, escrito. Ele parece burocrático, e é — de propósito. O passo mais pulado é o segundo: testar em exemplos pequenos antes de decidir (Nota 3.42). Metade dos erros morre aí. Para as afirmações verdadeiras, veja a Nota 3.43.

São seis objetos, e eles refutam a maioria das afirmações falsas sobre espaços vetoriais, bases, transformações lineares e matrizes. Toda vez que uma afirmação aparecer, a primeira coisa a fazer é testá-la nesta lista.

Para dualidade, quocientes, produto interno e formas multilineares, os contra-exemplos pequenos são quase sempre em \(\R^2\) ou \(\R^4\): duas retas distintas no plano, a forma \(\det\) em \(\R^2\) (Exemplo 7.6), a forma \(e_1^*\wedge e_2^*+e_3^*\wedge e_4^*\) em \(\R^4\) (Exemplo 7.15), e um produto interno que não é o usual (Exemplo 6.6).

Os quatro esqueletos não são truques: são as estruturas lógicas mais comuns dos enunciados sobre subespaços, dimensão e transformações lineares. Identificar o esqueleto antes de começar a escrever é o que separa uma demonstração de meia página de uma de três. No esqueleto 1, a contagem de dimensões é o Corolário 2.82. No esqueleto 2, “exibir base” e “contar pelo teorema do núcleo e da imagem” (Teorema 2.92) são duas estratégias, e a segunda dispensa achar os vetores; veja o Exemplo 2.97. O esqueleto 4 é o Corolário 2.93.