\(\dim N(A) = n-\posto A\): a dimensão do conjunto solução

Para toda \(A\in\Mat{m}{n}\) vale \(\dim N(A) = n-\posto A\). Em consequência, se \(AX=b\) é compatível, o seu conjunto solução é um subespaço afim de \(\R^n\) de dimensão \(n-\posto A\): um transladado do espaço solução do sistema homogêneo associado.

O teorema em uma figura. O conjunto solução de um sistema compatível é o espaço solução do homogêneo empurrado por uma solução particular qualquer. Ele tem a mesma dimensão, mas não passa pela origem — e por isso não é subespaço, a menos que \(b=0\).

Três leituras da figura: o conjunto solução não é subespaço, salvo se \(b=0\); trocar \(X_0\) por outra solução não muda o conjunto; e se \(N(A)=\{0\}\) ele se reduz a um ponto: a solução é única.