Corolário 5.35

Alternativa de Fredholm

RequerDefinição 3.19Sistema linear Exemplo 5.3Funcionais em \(\R^n\) são vetores-linha

A demonstração exigeCorolário 5.31\((S^0)^0 = S\)Teorema 5.33Os quatro subespaços de uma transformação linear Proposição 3.21\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)Exemplo 5.19A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha

O sistema \(AX = b\) tem solução se e somente se \(yb = 0\) para todo vetor-linha \(y\) com \(yA = 0\).

Demonstração

\(AX = b\) tem solução \(\iff b\in\Ima(T_A) = (\Ima(T_A)^0)^0 = N(T_A^*)^0\), pelo Corolário 5.31 e pelo Teorema 5.33. E \(N(T_A^*) = \{y: yA = 0\}\) (Exemplo 5.19).

Usado emExemplo 5.36A alternativa de Fredholm num sistema \(3\times2\)

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Vizinhança no grafo