A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha

A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha. Seja \(T_A:\R^n\to\R^m\), \(X\mapsto AX\). Um funcional em \(\R^m\) é um vetor-linha \(y\) (\(1\times m\)), e \[T_A^*(y) = y\circ T_A:\ X\mapsto yAX.\] Isto é: \(T_A^*\) é “multiplicar o vetor-linha por \(A\) à direita”, \(y\mapsto yA\). Escrevendo os vetores-linha em pé, isso é \(y^t\mapsto A^ty^t\). Por exemplo, para \(A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}\) e o funcional \(y = (1\ \ {-1})\) em \(\R^2\), que é \((u,v)\mapsto u-v\): \[T_A^*(y) = (1\ \ {-1})\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix} = (1\ \ 1\ \ {-3}),\] isto é, \(T_A^*(y)(x_1,x_2,x_3) = x_1+x_2-3x_3\). Confira: \(T_A(x) = (x_1+2x_2,\ x_2+3x_3)\), e \(u-v = x_1+x_2-3x_3\).

Uma consequência: \(T_A^*(y) = 0\) significa \(yA = 0\), isto é, \(y\) anula todas as colunas de \(A\) — e as colunas geram \(\Ima(T_A)\). Ou seja, \(N(T^*)\) são os funcionais que se anulam na imagem de \(T\). É a fórmula \(N(T^*) = \Ima(T)^0\) do Teorema 5.33.