\(\dim\Alt^n(V) = 1\): toda forma de grau máximo é múltiplo do determinante

\(\dim\Alt^n(V) = 1\). Em \(\R^n\), a forma \(e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*\) é \(\det\), e toda forma \(n\)-linear alternada é um múltiplo dela.

Este corolário é o Teorema 4.5, demonstrado de outra forma: lá, uma forma \(n\)-linear alternada com \(\omega(e_1,\ldots,e_n) = 1\) era única; aqui, o espaço dessas formas tem dimensão \(1\). A demonstração do Teorema 7.12 é a do Teorema 4.5 (“reordene e use a linearidade”), feita para \(k\) qualquer.