Desigualdade de Cauchy–Schwarz
Para todos \(u,v\in V\), \[|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\,\|v\|,\] com igualdade se e somente se \(u\) e \(v\) são linearmente dependentes.
A demonstração usual (o discriminante do polinômio \(t\mapsto\|u+tv\|^2\)) é igualmente curta. A escolhida aqui tem a vantagem de introduzir a decomposição \(v = p+w\) da figura, que é o passo de Gram–Schmidt (Teorema 6.17) e o caso unidimensional da projeção ortogonal (Definição 6.26).
Demonstração
Se \(u = 0\), os dois lados são nulos e \(u,v\) são LD. Suponha \(u\neq0\) e escreva \[v = \underbrace{\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u}_{p}+\underbrace{\Big(v-\frac{\langle v,u\rangle}{\|u\|^2}\,u\Big)}_{w}.\] Então \(\langle w,u\rangle = \langle v,u\rangle-\langle v,u\rangle = 0\), logo \(w\perp p\), e por Pitágoras \[\|v\|^2 = \|p\|^2+\|w\|^2\geq\|p\|^2 = \frac{\langle v,u\rangle^2}{\|u\|^2}.\] Multiplicando por \(\|u\|^2\) e tirando a raiz obtém-se a desigualdade. A igualdade vale se e somente se \(w = 0\), isto é, \(v\) é múltiplo de \(u\).
A componente de \(v\) na direção de \(u\). O vetor \(p\) é a “sombra” de \(v\) sobre a reta de \(u\), e o que sobra, \(w\), é perpendicular a \(u\). Cauchy–Schwarz diz que a sombra não é mais comprida que o vetor; Gram–Schmidt consiste em ficar com \(w\) e jogar \(p\) fora.