Autovetores de autovalores distintos são LI
Se \(v_1,\ldots,v_k\) são autovetores de \(T\) associados a autovalores distintos \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\), então \(v_1,\ldots,v_k\) são LI.
A ideia: aplicar \(T-\lambda_kI\) mata o último termo e multiplica os outros por números não nulos. É um polinômio em \(T\) usado como ferramenta (Proposição 8.17).
Demonstração
Indução em \(k\); para \(k = 1\), \(v_1\neq0\). Suponha o resultado para \(k-1\) e seja \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0.\tag{$\ast$}\] Aplique \(T-\lambda_kI\): como \((T-\lambda_kI)v_i = (\lambda_i-\lambda_k)v_i\), \[a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1} = 0.\] Pela hipótese de indução, \(a_i(\lambda_i-\lambda_k) = 0\) para \(i<k\), e como \(\lambda_i\neq\lambda_k\), \(a_i = 0\). Então \((\ast)\) vira \(a_kv_k = 0\), e \(a_k = 0\).