A matriz de Gram de três vetores de \(\R^3\)

Para \((1,1,0)\), \((0,1,1)\), \((1,0,1)\) em \(\R^3\): \[\Gamma = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad \det\Gamma = 4 = 2^2,\] e \(2\) é o determinante da matriz \(P\) do Exemplo 3.17, cujas colunas são esses vetores. Pela Nota 4.15, \(|\det P| = 2\) é o volume do paralelepípedo que eles geram: \(\sqrt{\det\Gamma}\) é esse volume, calculado só com produtos internos.