\(\det(AB) = \det A\cdot\det B\)
Para todas \(A,B\in\Mat{n}{n}\), \[\det(AB) = \det A\cdot\det B.\]
Por que \(\det(AB) = \det A\det B\). Um determinante é o fator pelo qual a transformação multiplica volumes; compor duas transformações multiplica os dois fatores. O teorema é essa frase (Nota 4.15), demonstrada sem falar em volume.
Demonstração
Fixe \(A\) e considere a função das colunas de \(B\) \[g(B_1,\ldots,B_n) := \det(AB).\] A \(j\)-ésima coluna de \(AB\) é \(A\,B_j\). Portanto:
\(g\) é \(n\)-linear, porque \(B_j\mapsto AB_j\) é linear e \(\det\) é \(n\)-linear;
\(g\) é alternada, porque se \(B_i = B_j\) então \(AB_i = AB_j\), e \(\det\) é alternada.
Pelo Teorema 4.5, \[g(B_1,\ldots,B_n) = \det(B)\cdot g(e_1,\ldots,e_n) = \det B\cdot\det(A\,I) = \det B\cdot\det A.\]
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