Funções de um conjunto em \(\R\)
Seja \(X\) um conjunto qualquer, e seja \(\mathcal{F}(X,\R)\) o conjunto de todas as funções \(f:X\to\R\), com as operações ponto a ponto: \[(f+g)(x) = f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x) = \lambda\,f(x),\qquad x\in X.\] Então \(\mathcal{F}(X,\R)\) é um espaço vetorial. O vetor nulo é a função identicamente nula, e \((-f)(x) = -f(x)\).
Demonstração
Cada axioma é uma igualdade entre funções, e duas funções são iguais quando assumem o mesmo valor em cada \(x\in X\). Avaliando em \(x\), cada axioma vira a propriedade correspondente dos números reais. Por exemplo, (D1): \[\big(\lambda(f+g)\big)(x) = \lambda\big(f(x)+g(x)\big) = \lambda f(x)+\lambda g(x) = (\lambda f+\lambda g)(x).\] Os outros sete são idênticos.
ex-fx