Por que o produto de matrizes é definido assim

O Teorema 3.7 não é um fato sobre matrizes: é a razão de o produto de matrizes ser definido daquele jeito estranho, com linhas contra colunas. A definição de produto foi escolhida para que a composição de transformações lineares corresponda a ele. O produto de matrizes não é uma convenção arbitrária.

Dois quadrados colados. Percorrer o caminho de cima e descer é o mesmo que descer e percorrer o de baixo — e é só isso que o teorema diz. A seta verde de baixo é o produto de matrizes; a de cima é a composição.