Um elipsoide: \(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\)

\(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\): \(A = \left(\begin{smallmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\-1&0&3\end{smallmatrix} \right)\). O autovalor \(2\) vem de \(y\); o bloco \(\left(\begin{smallmatrix}1&-1\\-1&3\end{smallmatrix} \right)\) tem \(\tr = 4\) e \(\det = 2\), logo autovalores \(2\pm\sqrt2>0\). Assinatura \((3,0)\): elipsoide, com semi-eixos \(\frac{1}{\sqrt2}\), \(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}}\).

O atalho: quando a matriz se parte em blocos, os autovalores se calculam bloco a bloco (Proposição 8.45), e para decidir a assinatura de um bloco \(2\times2\) bastam \(\det\) e \(\tr\) (Proposição 9.31).