Determinante com \(1\) no canto
Se \(M\in\mathcal{M}_{(n-1)\times(n-1)}(\R)\) e \(b\in\R^{n-1}\), então \[\det\begin{pmatrix}1 & b^t\\ 0 & M\end{pmatrix} = \det M.\]
Demonstração
Somando à \(j\)-ésima coluna o múltiplo adequado da primeira (que é \(e_1\)), zeramos \(b\) sem alterar o determinante. Ficamos com a matriz que tem \(1\) no canto, zeros na primeira linha e na primeira coluna, e \(M\) no resto. Na fórmula de Leibniz dessa matriz, uma parcela não nula exige \(\sigma(1) = 1\); as demais escolhas formam exatamente as permutações do bloco \(M\), com o mesmo sinal. Logo o determinante é \(\det M\).
lem-canto