\(1\leq\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\)
\(1\leq\mathrm{mg} (\lambda_0)\leq\mathrm{ma}(\lambda_0)\).
Por que \(\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\). Numa base que começa pelo autoespaço, o bloco verde contribui \((\lambda_0-\lambda)^g\) ao polinômio característico. O bloco azul pode contribuir mais fatores \((\lambda_0-\lambda)\) — no exemplo \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\), \(C = (1)\) contribui um.
Demonstração
\(\mathrm{mg}\geq1\) porque \(\lambda_0\) é autovalor. Seja \(g = \dim V_{\lambda_0}\) e complete uma base de \(V_{\lambda_0}\) a uma base \(B\) de \(V\). Como \(V_{\lambda_0}\) é invariante e \(T\) age nele como \(\lambda_0I\), a matriz é triangular por blocos (Proposição 5.56): \[[T]_B = \begin{pmatrix}\lambda_0I_g&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad p_T(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^g\,p_C(\lambda),\] pelo determinante de matriz triangular por blocos (Proposição 4.28). Logo \((\lambda-\lambda_0)^g\) divide \(p_T\), e \(\mathrm{ma}\geq g\).