Potências de uma matriz diagonalizável

Se \(A = PDP^{-1}\) com \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), então \(A^k = PD^kP^{-1}\) para todo \(k\geq0\), e \(D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)\). Se todos os \(\lambda_i\neq0\), isso vale também para \(k<0\).

O desvio do Teorema 3.14, agora com propósito: para calcular \(A^k\), passe às coordenadas em que \(A\) é diagonal, eleve \(n\) números à potência \(k\), e volte.