\(A\cdot\mathrm{adj}\,A = (\det A)\,I\)
Para toda \(A\in\Mat{n}{n}\), \[A\cdot\mathrm{adj}\,A = \mathrm{adj}\,A\cdot A = (\det A)\,I_n.\] Em particular, se \(\det A\neq0\) então \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}\,A\).
Demonstração
A entrada \((i,k)\) do produto \(A\cdot\mathrm{adj}\,A\) é \[\sum_{j=1}^n a_{ij}\,(-1)^{k+j}\det A_{kj}.\] Se \(i=k\), isso é exatamente o desenvolvimento de Laplace de \(\det A\) pela linha \(i\) (Teorema 4.20), logo vale \(\det A\).
Se \(i\neq k\), considere a matriz \(\widetilde A\) obtida de \(A\) substituindo a linha \(k\) pela linha \(i\). Ela tem duas linhas iguais, logo \(\det\widetilde A = 0\). Mas o menor \(\widetilde A_{kj}\) não vê a linha \(k\), e portanto \(\widetilde A_{kj} = A_{kj}\); assim o desenvolvimento de \(\det\widetilde A\) pela linha \(k\) é precisamente a soma acima. Ela vale \(0\).
Logo \(A\cdot\mathrm{adj}\,A = (\det A)I\); o outro produto é análogo, desenvolvendo por colunas.