Regra de Cramer
(Regra de Cramer.) Se \(\det A\neq0\), a única solução de \(AX=b\) é dada por \[x_j = \frac{\det A^{(j)}}{\det A},\] onde \(A^{(j)}\) é a matriz \(A\) com a \(j\)-ésima coluna substituída por \(b\).
Para \(n=2\) ou \(3\) a regra é útil; para \(n=5\) é muito mais lenta que escalonar. O valor dela é teórico: ela exibe a solução como função racional dos coeficientes, o que é usado, por exemplo, para mostrar que a solução depende continuamente dos dados.
Demonstração
\(X = A^{-1}b = \frac{1}{\det A}\mathrm{adj}(A)\,b\), cuja \(j\)-ésima entrada é \(\frac{1}{\det A}\sum_i(-1)^{i+j}\det(A_{ij})\,b_i\). Essa soma é o desenvolvimento de Laplace, pela coluna \(j\), do determinante da matriz que tem \(b\) na coluna \(j\) e as demais colunas de \(A\) — isto é, \(\det A^{(j)}\).