Reais positivos com produto e potência

Seja \(V = (0,\infty)\), os reais positivos, com \[x\oplus y = xy,\qquad \lambda\odot x = x^\lambda.\] Os axiomas são as regras de potência: (D1) é \((xy)^\lambda = x^\lambda y^\lambda\), (D2) é \(x^{\lambda+\mu} = x^\lambda x^\mu\), (M1) é \((x^\mu)^\lambda = x^{\lambda\mu}\), (M2) é \(x^1 = x\). O vetor nulo é o número \(1\), porque \(x\oplus1 = x\); e o simétrico de \(x\) é \(1/x\). Aqui o logaritmo faz o papel do \(\varphi\) do Exemplo 1.27: \(\log(x\oplus y) = \log x+\log y\) e \(\log(\lambda\odot x) = \lambda\log x\).

Os reais positivos com o produto, e o logaritmo que os transforma em \(\R\) com a soma. O vetor nulo de cima é o \(1\), que vai no \(0\) de baixo. O número \(0\) não está no espaço de cima, e nenhum vetor dele “falta”: todo real é o logaritmo de algum positivo.