Teorema de Cayley–Hamilton

Primeiro sobre \(\Cx\). Pelo Teorema 8.54, há uma base com \([T]\) triangular superior, com diagonal \(\mu_1,\ldots,\mu_n\), e \(p_T(\lambda) = \prod_i(\mu_i-\lambda)\); logo \(p_T(T) = \pm(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_nI)\). Afirmamos que \[(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)\ \text{anula}\ W_j\qquad(j = 1,\ldots,n).\] Para \(j = 1\): \(v_1\) é autovetor de \(\mu_1\). Suponha para \(j-1\). A coluna \(j\) da matriz diz que \(T(v_j) = \mu_jv_j+(\text{algo em }W_{j-1})\), isto é, \((T-\mu_jI)v_j\in W_{j-1}\); e \((T-\mu_jI)W_{j-1}\subset W_{j-1}\) porque \(W_{j-1}\) é invariante. Logo \((T-\mu_jI)W_j\subset W_{j-1}\). Como polinômios em \(T\) comutam, \[\begin{align*} (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_jI)W_j &= (T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)\big[(T-\mu_jI)W_j\big]\\ &\subset(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_{j-1}I)W_{j-1} = 0. \end{align*}\] Com \(j = n\), \(W_n = V\) e \(p_T(T) = 0\).

Caso real. Se \(A\) é uma matriz real, ela também é complexa, com o mesmo polinômio característico; a identidade \(p_A(A) = 0\) entre matrizes vale sobre \(\Cx\), e as entradas são reais.

A demonstração de Cayley–Hamilton como uma escada (\(n = 4\)). O fator \(T-\mu_jI\) leva \(W_j\) para dentro de \(W_{j-1}\), porque o último vetor da base de \(W_j\) é autovetor “módulo \(W_{j-1}\)”. Depois de todos os fatores, não sobra nada.