Propriedades da transposta
Sejam \(T:V\to W\) e \(S:W\to U\) lineares.
\(T^*\) está bem definida e é linear.
\((S\circ T)^* = T^*\circ S^*\) e \((\mathrm{Id}_V)^* = \mathrm{Id}_{V^*}\).
Se \(T\) é isomorfismo, então \(T^*\) é isomorfismo e \((T^{-1})^* = (T^*)^{-1}\).
Demonstração
(a) \(\varphi\circ T\) é composta de lineares, logo está em \(V^*\). E \(T^*(\varphi+\lambda\psi) = (\varphi+\lambda\psi)\circ T = \varphi\circ T+\lambda\,\psi\circ T\), porque as operações em \(V^*\) são ponto a ponto.
(b) \((S\circ T)^*(\varphi) = \varphi\circ S\circ T = T^*(S^*(\varphi))\). A outra é imediata.
(c) Aplique (b) a \(T^{-1}\circ T = \mathrm{Id}_V\) e \(T\circ T^{-1} = \mathrm{Id}_W\): \(T^*\circ(T^{-1})^* = \mathrm{Id}_{V^*}\) e \((T^{-1})^*\circ T^* = \mathrm{Id}_{W^*}\).
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\begin{cartao}
\emph{Sejam $T:V\to W$ e $S:W\to U$ lineares.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$T^*$ está bem definida e é linear.}
\item \emph{$(S\circ T)^* = T^*\circ S^*$ e $(\mathrm{Id}_V)^* = \mathrm{Id}_{V^*}$.}
\item \emph{Se $T$ é isomorfismo, então $T^*$ é isomorfismo e $(T^{-1})^* = (T^*)^{-1}$.}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a) $\varphi\circ T$ é composta de lineares, logo está em $V^*$. E
$T^*(\varphi+\lambda\psi) = (\varphi+\lambda\psi)\circ T = \varphi\circ T+\lambda\,\psi\circ T$,
porque as operações em $V^*$ são ponto a ponto.
(b) $(S\circ T)^*(\varphi) = \varphi\circ S\circ T = T^*(S^*(\varphi))$. A outra é imediata.
(c) Aplique (b) a $T^{-1}\circ T = \mathrm{Id}_V$ e $T\circ T^{-1} = \mathrm{Id}_W$:
$T^*\circ(T^{-1})^* = \mathrm{Id}_{V^*}$ e $(T^{-1})^*\circ T^* = \mathrm{Id}_{W^*}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}