Prefácio

Este livro foi produzido a partir de apostilas e notas manuscritas acumuladas pelos autores ao longo de quase duas décadas lecionando diversas disciplinas de Probabilidade, Medida e Integração, Processos Estocásticos e Teoria Ergódica em níveis de graduação, mestrado e doutorado, no IMPA, UFMG, PUC-Rio, NYU-Shanghai, Warwick e USP.

O objetivo principal é servir como referência para um curso de Probabilidade no nível de pós-graduação, mas procuramos torná-lo o mais flexível e autocontido possível. Dependendo das seções a serem cobertas, este livro pode ser usado em um curso de início de doutorado, mestrado ou mesmo no fim da graduação. Em um nível mais básico, o livro pode ser estudado cobrindo-se apenas as seções iniciais dos onze primeiros capítulos.

Os capítulos mais avançados cobrem as Leis 0-1 de Kolmogorov e de Hewitt-Savage, martingales a tempo discreto, com teoremas envolvendo amostragem opcional e convergência, noções básicas de Teoria Ergódica e de Grandes Desvios. Alguns tópicos fundamentais não são abordados neste livro, notadamente: convergência de medidas em espaços métricos, cadeias de Markov e processos estocásticos em tempo contínuo.

Ao escrever o livro, procuramos manter um grau de modularidade, de forma a permitir que diversas seções possam ser saltadas sem prejuízo à leitura das seções subsequentes. Para planejar um curso, pode-se montar uma lista de seções a gosto, e depois percorrer a lista de trás para frente, agregando-se os pré-requisitos indicados na Tabela 1. Os pré-requisitos mais importantes são ilustrados também na Figura 1.

Os pré-requisitos para a leitura em um nível mais básico são o cálculo de derivadas e integrais em $\mathbb{R}^{n}$ , limites de sequências, convergência de séries e limites laterais de funções. Há uma breve revisão desses conceitos no Apêndice A.1.

Para seguir algumas demonstrações e tópicos mais avançados, o leitor deve estar familiarizado com ideias de Análise Real, como conjuntos abertos, conjuntos compactos, conjuntos enumeráveis, supremo de conjuntos, $\limsup$ e $\liminf$ . Esses conceitos são listados de forma lacônica no Apêndice A.3.

Os conceitos de Teoria da Medida que servem para dar bases sólidas à Teoria da Probabilidade serão vistos gradualmente nas Seções 1.4, 3.6, 3.7, 5.5, 11.5 e 13.1. As demonstrações mais longas são vistas no Apêndice D.

Por inúmeros comentários, correções e sugestões, agradecemos a Daniel Valesin, Henrique Felix, Maria Eulália Vares, Nikolaos Constantinou, Pablo Groisman, Rangel Baldasso, Rodrigo Targino, Shivakumar Mahesh, Tertuliano Franco e aos vários alunos de cursos ministrados utilizando versões preliminares deste livro. Agradecemos especialmente a Célio Terra pela leitura minuciosa do texto e dos exercícios.

Agradecemos a Nelly Carvajal pelo cuidado na edição do livro e aos pareceristas anônimos pelos numerosos comentários que contribuíram significativamente para o aprimoramento do texto.

São Paulo e Belo Horizonte,
8 de março de 2026.

Tabela 1: Pré-requisitos do livro

1.1 -	A.1
1.2 -	1.1
1.3 -	1.2
1.4 -	1.3, C.2
2.1 -	1.3
2.2 -	2.1
3.1 -	2.2
3.2 -	3.1
3.3 -	3.2
3.4 -	3.3
3.5 -	3.3
3.6 -	3.1, 1.4
3.7 -	3.6
4.1 -	3.3
4.2 -	4.1
4.3 -	4.2
4.4 -	4.2
4.5 -	4.2
5.1 -	4.2
5.2 -	5.1, C.1
5.3 -	5.2, C.2 $\mathclap{\ {}^{*}}$
5.4 -	5.2, 3.4
5.5 -	5.3, 3.7
6.1 -	5.2
6.2 -	6.1
6.3 -	6.1
7.1 -	6.3
7.2 -	7.1
7.3 -	7.2, 5.3 $\mathclap{\ {}^{*}}$
7.4 -	7.1, 5.3, C.2
8.1 -	7.1
8.2 -	7.2, 7.3 $\mathclap{\ {}^{*}}$
8.3 -	8.2, 5.3, C.2 $\mathclap{\ {}^{*}}$
8.4 -	8.2
9.1 -	8.1, 4.3 $\mathclap{\ {}^{*}}$
9.2 -	3.2, A.2
9.3 -	9.1, 7.4 $\mathclap{\ {}^{*}}$ , A.2
9.4 -	9.1, 5.5, 7.4 $\mathclap{\ {}^{*}}$ , A.2
9.5 -	9.1, 7.4 $\mathclap{\ {}^{*}}$
10.1 -	9.1, 5.3 $\mathclap{\ {}^{*}}$
10.2 -	9.1, 5.3 $\mathclap{\ {}^{*}}$ , A.2
10.3 -	10.2, 7.4, 5.5 $\mathclap{\ {}^{*}}$
10.4 -	10.3, 5.5
11.1 -	5.4, 6.3
11.2 -	11.1
11.3 -	11.2
11.4 -	5.5, 6.3
11.5 -	11.4
11.6 -	11.3, 11.4
12.1 -	11.4
12.2 -	12.1
12.3 -	12.2
12.4 -	12.2
12.5 -	12.4
12.6 -	12.1
13.1 -	11.4
13.2 -	13.1
13.3 -	13.2
13.4 -	13.3
13.5 -	13.4
14.1 -	13.1
14.2 -	14.1
14.3 -	14.2
14.4 -	14.3
14.5 -	14.3
15.1 -	5.5, 8.2, 10.1
15.2 -	15.1
15.3 -	15.2
A.1 -	—
A.2 -	A.1
A.3 -	A.1
i.0B -	A.2
C.1 -	A.1
C.2 -	C.1, A.3
D.1 -	3.6
D.2 -	D.1
D.3 -	3.7
D.4 -	5.5, D.1
D.5 -	11.5
D.6 -	11.5, D.1
D.7 -	5.5

“^∗” indica que a seção listada não é imprescindível, tampouco seus pré-requisitos.

Figura 1: Diagrama ilustrativo com os principais pré-requisitos listados na Tabela 1, para fácil visualização. Este diagrama é incompleto. Antes de montar um curso, é importante verificar a tabela.