13.5 Convergência de séries aleatórias

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Conforme vimos na seção anterior o evento $\{\omega:\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}(\omega)\text{ converge}\}$ é caudal, logo pela Lei 0-1 de Kolmogorov, sua probabilidade é zero ou um. Isto é, $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge quase certamente ou diverge quase certamente. Nesta seção, estudaremos critérios que nos permitem determinar qual dois casos acima ocorre quase certamente.

Exemplo 13.23.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, com distribuição $\mathbb{P}(X_{n}=1)=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)=2^{-n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Pelo Lema de Borel-Cantelli, $\mathbb{P}(X_{n}\neq 0\text{ i.v})=0$ , logo, $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge quase certamente. ∎

No exemplo acima, foi relativamente fácil concluir que a série converge quase certamente. Suponha agora que $(Z_{n})_{n}$ é i.i.d. com distribuição $\mathbb{P}(Z_{n}=1)=\mathbb{P}(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2}$ e considere a série harmônica com sinal aleatório $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n}$ . Esta série converge ou diverge quase certamente? Não podemos proceder como no exemplo acima, e precisamos de critérios mais efetivos.

Inicialmente, estabeleçamos um critério para a convergência quase certa de uma sequência de variáveis aleatórias.

Lema 13.24.

Uma sequência $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ de variáveis aleatórias converge quase certamente se, e somente se, $\lim_{n}\mathbb{P}\left(\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|>\varepsilon\right% )=0$ , para todo $\varepsilon>0$ .

Demonstração.

Observamos que uma sequência $(x_{n})_{n}$ de números reais converge se, e somente se, $\lim_{n}(\sup_{k\geqslant n}x_{k}-\inf_{k\geqslant n}x_{k})=0$ . Logo, $(X_{n})_{n}$ converge q.c. se, e somente se, $\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k\geqslant n}X_{k}\overset{\mathrm{q.c.}}{% \rightarrow}0.$ Seja $Z_{n}=\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k\geqslant n}X_{k}$ . Como $(Z_{n})_{n}$ é uma sequência monótona, segue das Proposições 7.25 e 7.32 que $Z_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ se, e somente se, $Z_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ . Mas como $\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|\leqslant\sup_{k\geqslant n}X_{k}-\inf_{k% \geqslant n}X_{k}\leqslant 2\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|,$ concluímos que $Z_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ se, e somente se, $\sup_{k\in\mathbb{N}}|X_{n+k}-X_{n}|\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0,$ o que prova o lema. ∎

A seguir, provaremos dois lemas. O primeiro é uma interessante desigualdade envolvendo o segundo momento da soma de variáveis aleatórias, pois vai na direção oposta à de Tchebyshev; enquanto o segundo lema é uma versão mais forte da Desigualdade de Tchebyshev e é interessante por si só.

Lema 13.25.

Sejam $c\in\mathbb{R}$ e $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que $\mathbb{E}X_{n}=0$ e $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Então, para todo $\varepsilon>0$ , vale

\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\varepsilon\,\mathbb{V}S_{n})\geqslant\frac{(1-% \varepsilon)^{2}}{3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}}},

onde $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ .

Demonstração.

Pela Desigualdade de Paley-Zygmund,

\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\varepsilon\,\mathbb{E}S_{n}^{2})\geqslant(1-% \varepsilon)^{2}\frac{(\mathbb{E}S_{n}^{2})^{2}}{\mathbb{E}S_{n}^{4}}.

Para estimar o quociente, expandimos como na demonstração do Teorema 8.5 e majoramos

$\displaystyle\mathbb{E}S_{n}^{4}$	$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}\mathbb{E}X_{j}^{4}+3\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}% \mathds{1}_{k\neq j}\mathbb{E}X_{j}^{2}\cdot\mathbb{E}X_{k}^{2}$
	$\displaystyle\leqslant c^{2}\sum_{j=1}^{n}\mathbb{E}X_{j}^{2}+3\Big{(}\sum_{j=% 1}^{n}\mathbb{V}X_{j}\Big{)}^{2}=(3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}})(\mathbb{V}% S_{n})^{2},$

o que conclui a prova. ∎

Lema 13.26 (Desigualdade Maximal de Kolmogorov).

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis aleatórias independentes com média zero e segundo momento finito. Defina $S_{k}=\sum_{j=1}^{k}X_{j}$ . Então, para todo $\varepsilon>0$ ,

\mathbb{P}\Big{(}\max_{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant\varepsilon\Big% {)}\leqslant\frac{\mathbb{V}S_{n}}{\varepsilon^{2}}.

Demonstração.

Defina $A_{k}=\{|S_{1}|<\varepsilon,\dots,|S_{k-1}|<\varepsilon,|S_{k}|\geqslant% \varepsilon\}.$ Observe que $\sum_{k}\mathds{1}_{A_{k}}=\mathds{1}_{\{\max_{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|% \geqslant\varepsilon\}}$ . Expandindo $(S_{k}+(S_{n}-S_{k}))^{2}$ ,

$\displaystyle\mathbb{E}S_{n}^{2}$	$\displaystyle\textstyle\geqslant\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[S_{n}^{2}\mathds{1}_{% A_{k}}]$
	$\displaystyle\textstyle=\sum_{k=1}^{n}(\mathbb{E}[S_{k}^{2}\mathds{1}_{A_{k}}]% +2\cdot\mathbb{E}[S_{k}\mathds{1}_{A_{k}}]\cdot\mathbb{E}[S_{n}-S_{k}]+\mathbb% {E}[(S_{n}-S_{k})^{2}\mathds{1}_{A_{k}}])$
	$\displaystyle\textstyle\geqslant\sum_{k=1}^{n}\mathbb{E}[\varepsilon^{2}% \mathds{1}_{A_{k}}]=\varepsilon^{2}\cdot\mathbb{P}(\max_{1\leqslant k\leqslant n% }\|S_{k}\|\geqslant\varepsilon),$

onde utilizamos que $S_{n}-S_{k}$ tem média zero e é independente de $S_{k}\mathds{1}_{A_{k}}$ . ∎

O lema acima também segue diretamente da Desigualdade de Doob-Kolmogorov, provada no Capítulo 12.

Teorema 13.27 (Teorema de Uma Série).

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $\mathbb{E}X_{n}=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Então,

(a)

Se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty$ , então $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ .
(b)

Se $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ e existe $c>0$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1$ para todo $n$ , então $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}^{2}<\infty$ .

Demonstração.

Queremos estudar a convergência de $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ .

Começamos pelo item (a). Pela Desigualdade Maximal de Kolmogorov,

$\displaystyle\mathbb{P}\Big{(}\sup_{k\in\mathbb{N}}\|S_{n+k}-S_{n}\|>\varepsilon% \Big{)}$	$\displaystyle=\lim_{m}\mathbb{P}\Big{(}\max_{k\leqslant m}\|S_{n+k}-S_{n}\|>% \varepsilon\Big{)}$
	$\displaystyle\leqslant\lim_{m}\frac{\sum_{k=n}^{n+m}\mathbb{E}X_{k}^{2}}{% \varepsilon^{2}}=\frac{\sum_{k=n}^{\infty}\mathbb{E}X_{k}^{2}}{\varepsilon^{2}% }\to 0$

para todo $\varepsilon>0$ . Pelo Lema 13.24, $S_{n}$ converge quase certamente.

Passamos ao item (b). Suponha que $\mathbb{V}S_{n}\to+\infty$ e que existe $c>0$ tal que $|X_{n}|\leqslant c$ q.c. para todo $n$ . Pelos Lema de Fatou e Lema 13.25,

\textstyle\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\tfrac{1}{2}\mathbb{E}S_{n}^{2}\text{ i% .v.})\geqslant\limsup_{n}\mathbb{P}(S_{n}^{2}\geqslant\tfrac{1}{2}\mathbb{E}S_% {n}^{2})\geqslant\lim_{n}\frac{1}{4}\Big{(}3+\tfrac{c^{2}}{\mathbb{V}S_{n}}% \Big{)}^{-1}=\frac{1}{12},

donde concluímos que $\mathbb{P}(S_{n}\text{ diverge})>0$ . ∎

Exemplo 13.28 (

p

-série aleatória).

Seja $(Z_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathbb{P}(Z_{n}=1)=\mathbb{P}(Z_{n}=-1)=\frac{1}{2}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Considere a $p$ -série aleatória $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}}$ com $p>0$ . Como $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant 1)=1$ e $\mathbb{E}[\frac{Z_{n}}{n^{p}}]=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , segue do Teorema de Uma Série que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}}$ converge quase certamente se, e somente se, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}\text{ converge.}$ Portanto, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{Z_{n}}{n^{p}}$ converge quase certamente se $p>\frac{1}{2}$ e diverge quase certamente se $0<p\leqslant\frac{1}{2}$ . Em particular, a série harmônica com sinal aleatório, mencionada no início desta seção, converge quase certamente. ∎

O próximo teorema é um refinamento do anterior, que retira a hipótese de $\mathbb{E}X_{n}=0$ . Em troca, teremos que verificar a convergência de duas séries de números reais em vez de uma.

Teorema 13.29 (Teorema das Duas Séries).

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Valem as seguintes proposições:

(a)

Se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}$ convergem, então $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ .
(b)

Se $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ e existe $c>0$ tal que $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , então $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}$ convergem.

Demonstração.

Começamos pelo item (a). Como $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}(X_{n}-\mathbb% {E}X_{n})^{2}$ converge, pelo Teorema de Uma Série, $\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-\mathbb{E}X_{n})$ converge q.c. Por hipótese, $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}$ também converge, logo $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge q.c.

Passamos ao item (b). Seja $(Y_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes entre si e independentes de $(X_{n})_{n}$ , tais que $Y_{n}\sim X_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ (para construir tal sequência é suficiente tomar o produto de $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ consigo mesmo). Se $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge q.c., então $\sum_{n=1}^{\infty}Y_{n}$ converge q.c. e consequentemente, $\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-Y_{n})$ também converge quase certamente.

Por hipótese, $\mathbb{P}(|X_{n}|\leqslant c)=1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ , logo $\mathbb{P}(|X_{n}-Y_{n}|\leqslant 2c)=1$ . Como $\mathbb{E}[X_{n}-Y_{n}]=0$ , pelo item (b) do Teorema de Uma Série, $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}[X_{n}-Y_{n}]^{2}$ converge. Por outro lado, como $X_{n}$ e $Y_{n}$ são independentes,

\mathbb{E}(X_{n}-Y_{n})^{2}=\mathbb{V}[X_{n}-Y_{n}]=2\mathbb{V}X_{n}.

Logo, $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}$ converge e, utilizando o item (a) do Teorema de Uma Série, $\sum_{n=1}^{\infty}(X_{n}-\mathbb{E}X_{n})$ converge q.c. Como $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge q.c., concluímos que $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_{n}$ converge. ∎

O próximo teorema nos fornece uma condição equivalente à convergência quase certa de uma série de variáveis independentes. Em compensação, ganhamos uma terceira série de números reais para analisar.

Dada uma variável $X$ aleatória e $c>0$ , definimos a variável truncada

X^{c}(\omega)=\begin{cases}X(\omega),&\text{ se }|X(\omega)|\leqslant c,\\ 0,&\text{ se }|X(\omega)|>c.\end{cases}

Teorema 13.30 (Teorema das Três Séries).

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e $(X_{n}^{c})_{n}$ a sequência truncada em $c>0$ .

(a)

Se existe $c>0$ tal que as três séries $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n},\ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c)$ convergem, então $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ .
(b)

Reciprocamente, se $\mathbb{P}(\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}\text{ converge})=1$ , então as três séries $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n},\ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c)$ convergem para todo $c>0$ .

Demonstração.

Começamos pelo item (a). Pelo Teorema das Duas Séries, $\sum_{n=1}^{\infty}X^{c}_{n}$ converge q.c. Por outro lado, pelo Lema de Borel-Cantelli,

\mathbb{P}(X_{n}\neq X_{n}^{c}\ \text{i.v.})=\mathbb{P}(|X_{n}|>c\ \text{i.v.}% )=0.

Isto é, quase certamente, $X_{n}$ e $X_{n}^{c}$ diferem para, no máximo, finitos valores do índice $n$ . Como $\sum_{n=1}^{\infty}X^{c}_{n}$ converge quase certamente, segue que $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ também converge quase certamente.

Passamos ao item (b). Seja $c>0$ . Como $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}$ converge quase certamente, $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Pela Proposição 7.16, $\mathbb{P}(|X_{n}|>c\ \text{i.v.})=0$ , logo $\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}^{c}$ converge q.c. Logo, pelo Teorema das Duas Séries, $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{c}_{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X^{c}_{n}$ convergem. Ademais, como as variáveis $(X_{n})_{n}$ são independentes, o Lema de Borel-Cantelli assegura que $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|X_{n}|>c)$ converge. ∎