7.2 Lema de Borel-Cantelli

Para estudarmos a convergência de variáveis aleatórias, na “maioria” ou em “quase todos” os pontos $\omega\in\Omega$ , precisaremos definir certos eventos que nos permitirão representar a convergência $X_{n}\to X$ de modo mais tratável.

Definição 7.15 (Limite superior de uma sequência de conjuntos).

Seja $(A_{n})_{n}$ uma sequência de subconjuntos de $\Omega$ . Definimos o evento $\limsup_{n\to\infty}A_{n}$ , também denotado por $A_{n}$ infinitas vezes, ou simplesmente $A_{n}$ i.v. como

\limsup_{n\to\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}.

Em palavras, o evento definido acima é o conjunto de todos $\omega$ tais que, para todo $n\in\mathbb{N}$ existe $k\geqslant n$ para o qual $\omega\in A_{k}$ , isto é, $\omega\in A_{n}$ para infinitos eventos da sequência $(A_{n})_{n}$ , daí a nomenclatura $A_{n}$ infinitas vezes.

Vejamos como a noção de uma sequência de eventos ocorrer infinitas vezes se relaciona com a convergência de variáveis aleatórias. Relembremos que uma sequência de números reais $(x_{n})_{n}$ converge para o número real $x$ se, para todo $\varepsilon>0$ , temos que $|x_{n}-x|<\varepsilon$ para todo $n$ suficientemente grande, ou de modo equivalente $|x_{n}-x|<\varepsilon$ para todo $n$ , exceto para uma quantidade finita de valores de $n$ . Portanto, $x_{n}\not\to x$ se, e somente se, existe $\varepsilon>0$ tal que $|x_{n}-x|\geqslant\varepsilon$ para infinitos valores do índice $n$ .

Proposição 7.16.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias. Então, $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ se, e somente se, para todo $\varepsilon>0$ ,

\mathbb{P}\left(\mathclap{\phantom{\big{|}}}|X_{n}-X|\geqslant\varepsilon\text% { infinitas vezes}\right)=0.

Demonstração.

Observemos inicialmente a seguinte igualdade de eventos

\{X_{n}\not\to X\}=\{\exists k\in\mathbb{N},|X_{n}-X|\geqslant\tfrac{1}{k}% \text{ i.v.}\}=\cup_{k\in\mathbb{N}}\{|X_{n}-X|\geqslant\tfrac{1}{k}\text{ i.v% .}\}.

Portanto, dada a definição de convergência quase certa, dizer que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ é equivalente a afirmar que $\mathbb{P}(\cup_{k\in\mathbb{N}}\{|X_{n}-X|\geqslant\tfrac{1}{k}\text{ i.v.}\}% )=0$ , o que por sua vez é equivalente a dizer que $\mathbb{P}(|X_{n}-X|\geqslant\tfrac{1}{k}\text{ i.v.})=0$ para todo $k\in\mathbb{N}$ .

Dado qualquer $\varepsilon>0$ , sempre existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $\varepsilon\geqslant\tfrac{1}{k}$ . Sendo assim, as afirmações $\mathbb{P}(|X_{n}-X|\geqslant\tfrac{1}{k}\text{ i.v.})=0$ para todo $k\in\mathbb{N}$ e $\mathbb{P}(|X_{n}-X|\geqslant\varepsilon\text{ i.v.})=0$ para todo $\varepsilon>0$ são equivalentes, o que completa esta demonstração. ∎

Uma pergunta que surge naturalmente a partir da proposição acima é: como estimar a probabilidade de uma sequência de eventos ocorrer infinitas vezes? O Lema de Borel-Cantelli, que enunciaremos a seguir, fornece respostas precisas para esta pergunta.

Teorema 7.17 (Lema de Borel-Cantelli).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $(A_{n})_{n}$ uma sequência de eventos.

(a)

Se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})<\infty,$ então $\mathbb{P}\big{(}A_{n}\text{ i.v.}\big{)}=0.$
(b)

Se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})=+\infty$ e os eventos $(A_{n})_{n}$ são independentes, então $\mathbb{P}\big{(}A_{n}\text{ i.v.}\big{)}=1.$

Demonstração.

Para a primeira parte, observe inicialmente que $\left(\cup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\downarrow\{A_{n}\ \text{i.v.}\}$ . Portanto,

$\displaystyle\mathbb{P}(\{A_{n}\ \text{i.v.}\})$	$\displaystyle=\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k% }\right)$
	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)$
	$\displaystyle\leqslant\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{\infty}\mathbb{P}(A_{k})=0.$

O último limite é zero devido à convergência da série $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})$ .

Para a segunda parte, consideremos o evento $\{A_{n}\ \textit{i.v.}\}^{c}$ . Pela Lei de De Morgan,

\{A_{n}\ \text{i.v.}\}^{c}=\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A% _{k}\right)^{c}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}.

Observe inicialmente que $\left(\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)\uparrow\{A_{n}\ \text{i.v.}\}^{c}$ , logo

$\displaystyle\mathbb{P}(\{A_{n}\ \text{i.v.}\}^{c})$	$\displaystyle=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k% }^{c}\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)$
	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^% {m}A_{k}^{c}\right)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}(1-% \mathbb{P}(A_{k}))$
	$\displaystyle\leqslant\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}e^{-% \mathbb{P}(A_{k})}=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}e^{-\sum_{k=n}^{m}\mathbb% {P}(A_{k})}=0,$

onde a quarta igualdade é devida à independência de $(A_{n})_{n}$ , e por conseguinte de $(A_{n}^{c})_{n}$ , a cota superior segue da desigualdade $1-x\leqslant e^{-x}$ para todo $x\in\mathbb{R}$ e a igualdade final segue da hipótese $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})=+\infty$ .∎

Corolário 7.18 (Lei 0-1 de Borel).

Se $(A_{n})_{n}$ é uma sequência de eventos independentes, então $\mathbb{P}(\{A_{n}\ \text{i.v.}\})=0$ ou $1$ .

Observação 7.19.

A hipótese de independência é crucial na segunda parte do Lema de Borel-Cantelli. Com efeito, seja $A$ um evento qualquer com $\mathbb{P}(A)\in(0,1)$ e defina $A_{n}=A$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Neste caso, $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_{n})=+\infty$ e $\mathbb{P}\big{(}A_{n}\text{ i.v.}\big{)}=\mathbb{P}(A)<1$ . ∎

Exemplo 7.20.

Helena começa com um baralho comum (52 cartas), ela retira de modo equiprovável uma carta do baralho, observa sua face, repõe a carta retirada e acrescenta mais outra carta com um coringa na face. Tal procedimento é repetido indefinidamente: embaralham-se as cartas, uma carta é retirada, sua face é observada, esta retorna ao baralho juntamente com um coringa. De modo que o baralho passa a ter uma carta a mais a cada rodada. Sejam $(A_{n})_{n\geqslant 1}$ e $(B_{n})_{n\geqslant 2}$ sequências de eventos definidos como

A_{n}=\{\text{Helena tira o }4\clubsuit\mbox{ na $n$-\'{e}sima rodada}\}\mbox{% e }B_{n}=A_{n}\cap A_{n-1};

observe que $\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{51+n}$ e $\mathbb{P}(B_{n})=\frac{1}{(50+n)(51+n)}$ . Pelo Lema de Borel-Cantelli,

\mathbb{P}(A_{n}\text{ i.v.})=1\quad\text{ e }\quad\mathbb{P}(B_{n}\text{ i.v.% })=0

Isto é, apesar de Helena retirar o $4\clubsuit$ infinitas vezes com probabilidade um, ela irá retirá-lo duas vezes consecutivas no máximo finitas vezes com probabilidade um. Observe que foi necessário que os eventos $(A_{n})_{n}$ fossem independentes, embora os eventos $(B_{n})_{n}$ não possuam tal propriedade. ∎

O uso mais frequente que faremos do Lema de Borel-Cantelli será para obter a convergência quase certa. Se conseguirmos mostrar que

\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\big{(}|X_{n}-X|\geqslant\varepsilon\big{)}<\infty

para todo $\varepsilon>0$ , podemos concluir, pela Proposição 7.16, que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ .

Exemplo 7.21.

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d., com distribuição uniforme em $[0,1]$ . Defina a sequência de variáveis aleatórias $(Y_{n})_{n}$ como

Y_{n}=\min\{X_{1},\dots,X_{n}\},\ n\geqslant 1.

Mostraremos que $Y_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ . Para todos $n\in\mathbb{N}$ e $\varepsilon\in(0,1)$ , temos

$\displaystyle\mathbb{P}(\|Y_{n}\|>\varepsilon)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X_{1}>\varepsilon,\dots,X_{n}>\varepsilon)$
	$\displaystyle=\prod_{k=1}^{n}\mathbb{P}(X_{k}>\varepsilon)$
	$\displaystyle=\mathbb{P}(X_{1}>\varepsilon)^{n}$
	$\displaystyle=(1-\varepsilon)^{n},$

onde as quatro igualdades acima seguem da definição de $Y_{n}$ e do fato de que as $(X_{n})_{n}$ são independentes e identicamente distribuídas com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$ . Somando as probabilidades,

\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(|Y_{n}|\geqslant\varepsilon)=\sum_{n=1}^{\infty}% (1-\varepsilon)^{n}<\infty.

Logo, para cada $\varepsilon\in(0,1)$ , segue do Lema de Borel-Cantelli que

\mathbb{P}(\{|Y_{n}|>\varepsilon\ \text{i.v.}\})=0,

e consequentemente $Y_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ devido à Proposição 7.16. ∎

Exemplo 7.22.

Sejam $(a_{n})_{n}$ e $(p_{n})_{n}$ sequências tais que $a_{n}\uparrow\infty$ , $p_{n}\downarrow 0$ e $\sum_{n}p_{n}=\infty$ , e seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes, distribuídas como

\mathbb{P}(X_{n}=a_{n})=p_{n}\quad\text{e}\quad\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-p_{n},% \quad n\geqslant 1.

Pelo Lema de Borel-Cantelli, $\mathbb{P}(X_{n}\to 0)=0$ , o que contrasta com o fato de que $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ quando $n\to\infty$ . ∎

Como já vimos anteriormente, devemos ser sempre cautelosos ao utilizar a segunda parte do Lema de Borel-Cantelli. A hipótese de independência deve sempre ser verificada, conforme ilustrado no próximo exemplo.

Exemplo 7.23.

Sejam $U$ e $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias definidas como $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ e $X_{n}=\mathds{1}_{\{U\leqslant\frac{1}{n}\}}$ para $n\geqslant 1$ . Observe que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$ , pois $\mathbb{P}(X_{n}\to 0)=\mathbb{P}(U\in(0,1])=1$ . Entretanto, como $\mathbb{P}(X_{n}=1)=\frac{1}{n}$ e $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ diverge, poderíamos ser tentados a utilizar a segunda parte do Lema de Borel-Cantelli como no exemplo anterior e concluir que $\mathbb{P}(X_{n}\to 0)=0$ , o que obviamente não é verdadeiro. Defina os eventos $A_{n}=\{X_{n}=1\}$ para todo $n$ . Observe que os eventos $(A_{n})_{n}$ não são independentes, logo não podemos utilizar a segunda parte do Lema de Borel-Cantelli. ∎

Pela segunda parte do Lema de Borel-Cantelli, quando os eventos $(A_{n})_{n}$ são independentes, $\mathbb{P}(A_{n}\text{ i.v.})=0$ implica $\sum_{n}\mathbb{P}(A_{n})<\infty$ . Na ausência de independência isso pode ser falso, mas ainda vale que $\mathbb{P}(A_{n})\to 0$ .

Proposição 7.24.

Se $\mathbb{P}(A_{n}\text{ i.v.})=0$ , então $\mathbb{P}(A_{n})\to 0$ quando $n\to\infty$ .

Demonstração.

Tome $B_{m}=\cup_{k\geqslant m}A_{k}$ . Assim, $B_{m}\downarrow\{A_{n}\text{ i.v.}\}$ quando $m\to\infty$ . Como $B_{m}\supseteq A_{m}$ , vale que $\mathbb{P}(A_{m})\leqslant\mathbb{P}(B_{m})\to\mathbb{P}(A_{n}\text{ i.v.})=0$ . ∎