7.5 Exercícios

Seja $(A_{n})_{n}$ uma sequência de eventos e $(\mathds{1}_{A_{n}})_{n}$ a sequência de variáveis aleatórias indicadoras das ocorrências dos eventos correspondentes. Encontre uma condição sobre as probabilidades $\mathbb{P}(A_{n})$ para que $\mathds{1}_{A_{n}}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$.

Suponha que $\mathbb{E}X_{n}\to 0$ e $\mathbb{V}X_{n}\to 0$. Prove que $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$.

Prove a unicidade quase certa do limite quase certo. Isto é, se $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}Y$ e $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}Z$, então $Y=Z$ q.c.

Prove a unicidade quase certa do limite em probabilidade. Isto é, se $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}Y$ e $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}Z$, então $Y=Z$ q.c.

Seja $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ e defina $X_{n}=n\mathds{1}_{\{U<\frac{1}{n}\}}$. Verifique respectivamente se existe uma variável aleatória $X$ tal que $X_{n}\to X$

1. (a)
   ​

   em distribuição.

2. (b)
   ​

   em probabilidade.

3. (c)
   ​

   quase certamente.

4. (d)
   ​

   em $\mathcal{L}^{1}$.

5. (e)
   ​

   em $\mathcal{L}^{2}$.

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias com $X_{n}\sim\mathcal{U}[0,1+\frac{1}{n}]$ e $X\sim\mathcal{U}[0,1]$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$.

2. (b)
   ​

   Se $(X_{n})_{n}$ forem independentes, mostre que $X_{n}$ não converge em probabilidade para $X$.

3. (c)
   ​

   Dê um exemplo mostrando que, se a hipótese de independência for retirada, é possível que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$.

Suponha que $X_{n}$ tem distribuição uniforme no conjunto $\{\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,\frac{n-1}{n},1\}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que $(X_{n})_{n}$ converge em distribuição para uma variável com distribuição uniforme em $[0,1].$

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$ e $Z_{n}=\max\{X_{1},\dots X_{n}\}-\log n$. Mostre que $Z_{n}$ converge em distribuição para a distribuição de Gumbel.

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição uniforme em $[0,1]$, e $Y_{n}=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}$. Encontre a função de distribuição de $Y_{n}$ e o limite em distribuição desta sequência.

Suponha que $X_{n}\overset{\mathcal{L}^{1}}{\rightarrow}X$ e $|Z|\leqslant 1$ q.c. Mostre que $X_{n}Z\overset{\mathcal{L}^{1}}{\rightarrow}XZ$.

Seja $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes tais que $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda_{n})$, onde $\lambda_{n}=n^{3}$. Prove que $\mathbb{P}\left(\mathclap{\phantom{\big{|}}}\sum_{n=1}^{\infty}X_{n}<\infty\right)=1$.

Sejam $(a_{n})_{n}$ uma sequência de números reais e $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias com distribuição dada por $\mathbb{P}(X_{n}=a_{n})=p_{n}=1-\mathbb{P}(X_{n}=0)$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que, se $\sum_{n=1}^{\infty}p_{n}<\infty$, então $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$.

Sejam $X_{n},\ n\in\mathbb{N}$, variáveis aleatórias independentes tais que $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(p_{n})$. Estude as condições sobre $(p_{n})$, para que:

1. (a)
   ​

   $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$.

2. (b)
   ​

   $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$.

Definimos o limite inferior da sequência de conjuntos $(A_{n})_{n}$ como o conjunto $\liminf_{n\to\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}$. Mostre que:

1. (a)
   ​

   $\liminf_{n\to\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\to\infty}A_{n}$.

2. (b)
   ​

   Dê um exemplo onde vale a inclusão estrita no item anterior.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes com $X_{n}\sim\mathcal{U}[-n,n]$. Calcule $\mathbb{P}(|X_{n}|\to+\infty)$ e $\mathbb{P}(|X_{n^{2}}|\to+\infty)$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. Mostre que

se, e somente se, $X_{1}$ for integrável.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. Mostre que

se, e somente se, $\mathbb{E}X_{1}^{2}<\infty$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$. Mostre que $\mathbb{P}\left(X_{n}\geqslant 1\log n\text{ i.v.}\right)=1$ e $\mathbb{P}\left(X_{n}\geqslant 2\log n\text{ i.v.}\right)=0$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$. Mostre que

Sugestão: Mostre antes que $\mathbb{E}[e^{X_{1}/\varepsilon}]<\infty$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência i.i.d. de variáveis aleatórias não-negativas com $\mathbb{E}X_{1}^{2}<\infty$. Mostre que

1. (a)
   ​

   Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Mostre que

   $$\frac{\mathbb{P}(X>x)}{\quad\tfrac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\quad}\to 1\ \text{ \ quando \ }x\to+\infty.$$
2. (b)
   ​

   Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis i.i.d. com distribuição normal padrão. Encontre uma sequência de números reais $(a_{n})$ tais que

   $$\mathbb{P}(X_{n}\geqslant(1-\varepsilon)a_{n}\text{ i.v.})=1\text{ e }\mathbb{P}(X_{n}\geqslant(1+\varepsilon)a_{n}\text{ i.v.})=0$$

   para todo $\varepsilon>0$.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência qualquer de variáveis aleatórias. Mostre que sempre existe uma sequência de números reais $(a_{n})_{n}$ tal que $\frac{X_{n}}{a_{n}}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}0$.

Dê uma solução alternativa ao Exercício 4, usando a Proposição 7.32.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias tais que $\mathbb{E}X_{n}\to c$ quando $n\to\infty$, onde $c\in\mathbb{R}$.

1. (a)
   ​

   Mostre que, se $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{V}X_{n}$ converge, então $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}c$.

2. (b)
   ​

   Mostre que, se $\mathbb{V}X_{n}\to 0$, então $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}c$.

3. (c)
   ​

   Se $\mathbb{V}X_{n}\to 0$, então necessariamente $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}c$?

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição $\mathcal{U}[0,1]$ e $Y_{n}=n^{-X_{n}}$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Mostre que $Y_{n}\to 0$ em probabilidade mas não quase certamente.

Seja $X$ uma variável aleatória integrável, e seja $(A_{n})_{n}$ uma sequência de eventos tais que $\mathbb{P}(A_{n})\to 0$. Prove que $\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A_{n}}]\to 0$.

Sejam $X$ e $(X_{n})_{n}$ variáveis aleatórias tais que $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$, e seja $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função contínua. Mostre que $g(X_{n})\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}g(X)$.

Dê uma prova alternativa da Proposição 7.34 usando o Teorema de Helly-Bray.       Sugestão: Primeiro, prove supondo convergência quase certa, e depois use um argumento semelhante ao da prova do Teorema 7.33.