7.1 Modos de convergência

Sejam $X$ e $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ .

Definição 7.1 (Convergência em probabilidade).

Dizemos que a sequência $(X_{n})_{n}$ converge em probabilidade para $X$ , denotado por $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}X$ , se, para todo $\varepsilon>0$ , vale

\mathbb{P}\big{(}\{\omega\in\Omega:\left|X_{n}(\omega)-X(\omega)\right|% \geqslant\varepsilon\}\big{)}\to 0\text{ quando }n\to\infty.

Exemplo 7.2.

Sejam $X_{1},X_{2},\dots$ variáveis aleatórias independentes, tais que $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(\frac{1}{n})$ . Para $\varepsilon<1$ , temos que

\mathbb{P}\big{(}\left|X_{n}-0\right|\geqslant\varepsilon\big{)}=\mathbb{P}(X_% {n}=1)=\tfrac{1}{n}\to 0

e, portanto, $X_{n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ . ∎

Exemplo 7.3.

Sejam $X_{2},X_{3},X_{4},\dots$ variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas com distribuição $\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(1)$ e tome

Y_{n}=\frac{X_{n}}{\log n}.

Então,

\textstyle\mathbb{P}\left(\big{|}\frac{X_{n}}{\log n}-0\big{|}\geqslant% \varepsilon\right)=\mathbb{P}(X_{n}\geqslant\varepsilon\log n)=n^{-\varepsilon% }\to 0

para todo $\varepsilon>0$ e, portanto, $\frac{X_{n}}{\log n}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ . ∎

Exemplo 7.4 (Onda dançante).

Sejam $U\sim\mathcal{U}(0,1]$ e $(I_{n,k})_{n,k}$ a sequência de intervalos dada por $I_{n,k}=(\frac{k}{2^{n}},\frac{k+1}{2^{n}}],\ n\in\mathbb{N},\ k=0,\dots,2^{n}-1$ . Definimos as variáveis aleatórias $X_{n,k}={\mathds{1}}_{I_{n,k}}(U)$ , que assemelham-se a uma onda dançante (veja Figura 7.1).

Figura 7.1: Primeiros elementos do contra-exemplo da “onda dançante”.

À medida que $n$ cresce, os intervalos $I_{n,k}$ vão se tornando mais estreitos, de modo que dado qualquer $0<\varepsilon<1$ ,

\mathbb{P}(|X_{n,k}|\geqslant\varepsilon)=\mathbb{P}\big{(}U\in I_{n,k}\big{)}% =2^{-n}\to 0\text{ quando }n\to\infty.

Podemos ordenar os pares da forma $(n,k)$ sequencialmente da seguinte maneira. Para todo $j\in\mathbb{N}$ , existe um único par $(n(j),k(j))$ tal que $j=2^{n-1}+k$ . Tomamos $Y_{j}=X_{n(j),k(j)}$ . Assim, $Y_{j}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ quando $j\to\infty$ . ∎

No exemplo acima, para todo $\omega\in\Omega$ fixado, $U(\omega)\in I_{n,k}$ para infinitos valores de índices $(n,k)$ . Com efeito, para cada $n\in\mathbb{N}$ existirá um único valor de $k\in\{0,\dots,2^{n}-1\}$ tal que $U(\omega)\in I_{n,k}$ . Ou seja, $\big{\{}\omega\in\Omega:Y_{j}(\omega)\to 0\big{\}}=\emptyset$ apesar de que $Y_{j}\overset{\mathbb{P}}{\rightarrow}0$ . Isto é, a convergência em probabilidade tem suas debilidades, o que nos motiva a fazer a próxima definição.

Definição 7.5 (Convergência quase certa).

Dizemos que $X_{n}$ converge quase certamente para $X$ , denotado por $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}X$ , se

\mathbb{P}\left(\big{\{}\omega\in\Omega:X_{n}(\omega)\to X(\omega)\text{ % quando }n\to\infty\}\right)=1.

A convergência quase certa é uma convergência pontual num conjunto de probabilidade $1$ , ou seja, $X_{n}(\omega)\to X(\omega)$ para todo $\omega$ , exceto em um conjunto de probabilidade nula. Por outro lado, convergência em probabilidade não diz respeito à convergência pontual. Ela apenas afirma que, para valores grandes de $n$ , as variáveis $X_{n}$ e $X$ são aproximadamente iguais com probabilidade muito alta, conforme ilustrado no Exemplo 7.4.

Exemplo 7.6.

Sejam $U\sim\mathcal{U}[0,1]$ e $(X_{n})_{n}$ a sequência de variáveis aleatórias dada por $X_{n}=U+U^{n}$ . Afirmamos que $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}U$ . Com efeito,

\mathbb{P}(X_{n}\to U)=\mathbb{P}(U^{n}\to 0)=\mathbb{P}\left(U\in[0,1)\right)=1

e, portanto, $X_{n}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}U$ . ∎

Definição 7.7 (Convergência em

\mathcal{L}^{p}

Dado $p\geqslant 1$ , dizemos que $X_{n}$ converge para $X$ em $\mathcal{L}^{p}$ , que denotamos por $X_{n}\overset{\mathcal{L}^{p}}{\rightarrow}X$ , se $\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ para todo $n$ e

\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}|X_{n}-X|^{p}=0.

Exemplo 7.8 (Da volta à onda dançante).

Seja $(X_{n,k})$ a onda dançante definida no Exemplo 7.4, definimos a “onda dançante crescente” $(\tilde{X}_{n,k})$ , onde $\tilde{X}_{n,k}=2^{n/2}X_{n,k}$ , e definimos $(\tilde{Y}_{j})_{j}$ como a correspondente sequência, segundo o mesmo ordenamento feito no Exemplo 7.4. Podemos observar que no caso $p=1$ , vale

\mathbb{E}|\tilde{X}_{n,k}|=2^{-n/2}\to 0\ \text{quando}\ n\to\infty,

logo $\tilde{Y}_{j}\overset{\mathcal{L}^{1}}{\rightarrow}0$ quando $j\to\infty$ . Por outro lado, no caso $p=2$ , vale

\mathbb{E}|\tilde{X}_{n,k}|^{2}=1\not\to 0,

portanto, $(\tilde{Y}_{j})_{j}$ não converge para $0$ em $\mathcal{L}^{2}$ quando $j\to\infty$ . ∎

Proposição 7.9.

Se $X_{n}\overset{\mathcal{L}^{p}}{\rightarrow}X$ para algum $p\geqslant 1$ , então $\mathbb{E}X_{n}\to\mathbb{E}X$ .

Demonstração.

Pela Desigualdade de Lyapunov,

\big{|}\mathbb{E}X_{n}-\mathbb{E}X\big{|}\leqslant\mathbb{E}|X_{n}-X|\leqslant% \left(\mathbb{E}|X_{n}-X|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\to 0.\qed

Definição 7.10 (Convergência em distribuição).

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias, $(F_{X_{n}})_{n\geqslant 1}$ e $F_{X}$ suas respectivas funções de distribuição. Dizemos que $(X_{n})_{n\geqslant 1}$ converge para $X$ em distribuição, denotado por $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , se

\lim_{n\to\infty}F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x),

para todo $x\in\mathbb{R}$ ponto de continuidade da função $F_{X}$ .

Exemplo 7.11.

Seja $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias com $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(p_{n})$ , neste caso

F_{X_{n}}(x)=\begin{cases}0,\ &\text{ se }x<0,\\ 1-(1-p_{n})^{\lfloor x\rfloor},\ &\text{ se }x\geqslant 0.\end{cases}

Além disso, assuma que $np_{n}\to\lambda>0$ , quando $n\to\infty$ . Mostraremos que a sequência $(\frac{X_{n}}{n})_{n}$ converge em distribuição para uma distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$ . Para todos $x\in[0,\infty)$ e $n\geqslant 1$ , podemos escrever

$\displaystyle F_{\frac{X_{n}}{n}}(x)$	$\displaystyle=\mathbb{P}(X_{n}\leqslant nx)=\mathbb{P}(X_{n}\leqslant\lfloor{% nx}\rfloor)$
	$\displaystyle=1-(1-p_{n})^{\lfloor{nx}\rfloor}=1-(1-\frac{np_{n}}{n})^{nx}(1-% \frac{np_{n}}{n})^{\lfloor{nx}\rfloor-nx}.$

Agora, observando que

(1-\frac{np_{n}}{n})^{nx}\to e^{-\lambda x}\quad\text{e}\quad(1-\frac{np_{n}}{% n})^{\lfloor{nx}\rfloor-nx}\to 1,

obtemos que $F_{\frac{X_{n}}{n}}(x)\to 1-e^{\lambda x}$ quando $n\to\infty$ para todo $x\geqslant 0$ . Como já sabemos, essa expressão é a da função de distribuição de uma variável exponencial de parâmetro $\lambda$ . ∎

Exemplo 7.12.

Seja $X_{n}=\frac{1}{n}$ para $n\geqslant 1$ e $X=0$ . Então, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ , embora $\lim_{n\to\infty}F_{n}(0)=0\neq 1=F(0)$ . Mas como $0$ não é ponto de continuidade de $F$ , isto não é problema. ∎

No exemplo acima, temos variáveis aleatórias degeneradas que assumem os valores $\frac{1}{n}$ e $0$ . Qualquer critério de convergência minimamente razoável deveria incluir esse caso. Por isso, não poderíamos pedir que $F_{X_{n}}(x)\to F_{X}(x)$ nos pontos de descontinuidade de $F_{X}$ .

Gostaríamos de ressaltar que, na convergência em distribuição, não é necessário que as variáveis aleatórias $(X_{n})_{n}$ e $X$ estejam definidas no mesmo espaço de probabilidade, pois essa noção de convergência leva em conta apenas as suas respectivas funções de distribuição.

Vejamos agora um critério para a convergência em distribuição de variáveis aleatórias assumindo valores em $\mathbb{N}_{0}$ .

Proposição 7.13.

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias tomando valores em $\mathbb{N}_{0}$ . Então, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ se, e somente se, $p_{X_{n}}(k)\to p_{X}(k)$ para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ .

Demonstração.

Observemos que $F_{X_{n}}(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}p_{X_{n}}(k)$ e $F_{X}(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}p_{X}(k)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Supondo que $p_{X_{n}}(k)\to p_{X}(k)$ para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ , isso nos dá $F_{n}(x)\to F(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ e, portanto, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ .

Reciprocamente, suponha que $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ e seja $k\in\mathbb{N}_{0}$ . Como $k\pm\tfrac{1}{2}$ são pontos de continuidade de $F_{X}$ ,

p_{X_{n}}(k)=F_{X_{n}}(k+\tfrac{1}{2})-F_{X_{n}}(k-\tfrac{1}{2})\to F_{X}(k+% \tfrac{1}{2})-F_{X}(k-\tfrac{1}{2})=p_{X}(k)

quando $n\to\infty$ , concluindo a prova. ∎

Exemplo 7.14.

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias com $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$ e $X_{n}\sim\mathop{\mathrm{Binom}}\nolimits(n,\frac{\lambda}{n})$ . Conforme vimos na Seção 3.2, $p_{X_{n}}(k)\to p_{X}(k)$ para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ . Logo, pela Proposição 7.13, $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}X$ . ∎

Finalizamos esta seção discutindo a unicidade dos limites de sequências de variáveis aleatórias. Se $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Y$ e $X_{n}\overset{\smash{\mathrm{d}}}{\rightarrow}Z$ , então $Y\sim Z$ , veremos a prova na Seção 7.4. Se $X_{n}\to Y$ e $X_{n}\to Z$ quase certamente, em probabilidade ou em $\mathcal{L}^{p}$ , então $Y=Z$ quase certamente, deixamos a prova como exercício.