14.3 Transformações ergódicas e misturadoras

Voltemos à questão da frequência com que as órbitas visitam um dado conjunto. Seja $(E,\mathcal{E},\mu)$ um espaço de probabilidade e $T$ uma transformação que preserva medida. Dado $A\in\mathcal{E}$ , o Teorema Ergódico nos diz que a frequência de visitas a $A$ , dada por

\lim_{n}\frac{\#\{k\in\{0,\dots,n-1\}:T^{k}({x})\in A\}}{n},

está bem definida. Queremos saber qual propriedade a transformação $T$ deve ter de modo a assegurar que o limite seja simplesmente ${\mu(A)}$ para quase todo ponto inicial $x$ . A resposta é que a transformação $T$ deve revolver todo o espaço ${E}$ . A próxima definição dá uma forma precisa a essa ideia.

Definição 14.18 (Transformação ergódica).

Uma transformação $T$ que preserva medida é dita ergódica se $\mu(A)=0$ ou $1$ para todo $A\in\mathcal{I}_{T}$ .

Em outras palavras, a transformação $T$ é ergódica se não há forma de separar hermeticamente o espaço em regiões $A$ e $A^{c}$ , ambas com medida positiva, de forma que cada órbita de $T$ fique restrita a uma dessas duas regiões.

A proposição abaixo responde à pergunta colocada no início desta seção.

Proposição 14.19.

Seja $T$ uma transformação que preserva medida. São equivalentes:

$(i)$

A transformação $T$ é ergódica;
$(ii)$

Toda $f:E\to\mathbb{R}$ mensurável e $T$ -invariante é constante q.t.p.;
$(iii)$

Para toda $f:E\to\mathbb{R}$ mensurável e integrável, $\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]=\mathbf{E}f$ q.t.p.;
$(iv)$

Para toda $f:E\to\mathbb{R}$ mensurável e limitada, $\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]=\mathbf{E}f$ q.t.p.;
$(v)$

Para todos $A,B\in\mathcal{E}$ , vale $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mu(T^{-k}(A)\cap B)\to\mu(A)\cdot\mu(B).$

Demonstração.

A estratégia será mostrar a seguinte cadeia de implicações: $\text{\ref{item:1erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:2erg}}\Rightarrow\text{\ref{% item:3erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:5erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:4erg}}% \Rightarrow\ref{item:1erg}$ ( i ) ⇒ ( ⁢ i i ) ⇒ ( ⁢ i i i ) ⇒ ( ⁢ i v ) ⇒ ( v ) ⇒ ( i ) \text{\ref{item:1erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:2erg}}\Rightarrow\text{\ref{% item:3erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:5erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:4erg}}% \Rightarrow\ref{item:1erg}. A demonstração da primeira implicação é quase idêntica à prova do Corolário 13.17 e será omitida.

Assuma $(ii)$ e seja $f$ integrável. Pelo Exercício 14.14, $\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]$ é $T$ -invariante. Por $(ii)$ , $\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]=c$ q.t.p. Integrando ambos os lados, concluímos que $c=\mathbf{E}f$ , o que prova $(iii)$ .

A implicação $\text{\ref{item:3erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:5erg}}$ ( ⁢ i i i ) ⇒ ( ⁢ i v ) \text{\ref{item:3erg}}\Rightarrow\text{\ref{item:5erg}} é trivial.

Dados quaisquer $A,B\in\mathcal{E}$ e assumindo o item $(iv)$ , $\mathbf{E}[\mathds{1}_{A}|\mathcal{I}_{T}]=\mu(A)$ q.t.p. e, pelo Corolário 14.17,

\lim_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mu(T^{-k}(A)\cap B)=\mathbf{E}\left[% \mathds{1}_{B}\cdot\mathbb{E}[\mathds{1}_{A}|\mathcal{I}_{T}]\right]=\mu(A)% \cdot\mu(B).

Isso mostra o item $(v)$ .

Finalmente, seja $A\in\mathcal{I}_{T}$ e tome $B=A$ . Assumindo o item $(v)$ ,

\mu(A)=\lim_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\mu(T^{-k}(A)\cap A)=\mu(A)\cdot\mu(% A),

logo, $\mu(A)=0$ ou $1$ , ou seja, $T$ é ergódica. ∎

Combinando a proposição acima com o Teorema Ergódico de Birkhoff, obtemos o seguinte corolário.

Corolário 14.20.

Sejam $T$ uma transformação ergódica e $f:E\to\mathbb{R}$ uma função mensurável e integrável. Então,

\lim_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}=\int_{E}f\,\mathrm{d}\mu\quad% \text{$\mu$-q.t.p.}

Em palavras, o corolário acima nos diz que a “média temporal” (tomada ao longo dos sucessivos passos da órbita) do observável $f$ converge para a sua “média espacial” (calculada sobre o espaço ${E}$ ).

Exemplo 14.21 (Rotação do círculo).

O operador de rotação no círculo $T:[0,1)\to[0,1)$ , definido no Exemplo 14.10, é ergódico se, e somente se, seu parâmetro $\lambda$ for irracional. Na Seção 14.4, daremos uma prova curta que usa séries de Fourier e uma mais maçante baseada em aproximações. ∎

Consideraremos agora um tipo especial de transformação que preserva medida. São transformações cuja dinâmica não apenas revolve o espaço, mas também misturam todas as suas regiões.

Definição 14.22 (Transformação misturadora).

Uma transformação que preserva medida $T:{E}\to{E}$ é dita misturadora se

\lim_{n}\mu(T^{-n}(A)\cap B)=\mu(A)\cdot\mu(B)

para todos $A,B\in\mathcal{E}$ .

A definição acima nos diz que os eventos $T^{-n}(A)$ e $B$ se tornam praticamente independentes quando $n$ cresce. Isto é bem mais forte do que o comportamento médio das órbitas não depender da condição inicial.

Proposição 14.23.

Toda transformação misturadora é ergódica.

Demonstração.

Sejam $T$ uma transformação misturadora e $A\in\mathcal{I}_{T}$ . Tomando $B=A$ na Definição 14.22, temos

\mu(A)\cdot\mu(A)=\lim_{n}\mu(T^{-n}(A)\cap A)=\mu(A),

pois $T^{-n}(A)\cap A=A$ , logo $\mu(A)=0$ ou $1$ , isto é, $T$ é ergódica. ∎

Um exemplo de transformação misturadora será dado no final desta seção, dentro do contexto de sequências estacionárias. A transformação do Exemplo 14.11 também é misturadora.²³²³ 23 De fato, esse exemplo é equivalente a aplicar o operador deslocamento em uma sequência i.i.d., no espírito do Lema 4.28, mas não entraremos em detalhes. Vejamos alguns exemplos de transformações ergódicas que não são misturadoras.

Contra-exemplo 14.24.

Tome $E=\{0,1\}$ , $\mu(\{0\})=\mu(\{1\})=\tfrac{1}{2}$ , e $T(x)=1-x$ . Neste caso, $\mathcal{I}_{T}=\{\emptyset,\{0,1\}\}$ , logo $T$ é ergódica. Tomando $A=B=\{0\}$ , vemos que $\mu(A)\cdot\mu(B)=\tfrac{1}{4}$ , enquanto $\mu(T^{-n}(A)\cap B)=0$ ou $\frac{1}{2}$ dependendo da paridade de $n$ . Logo, $T$ não pode ser misturadora. Este exemplo é equivalente ao Exemplo 14.5. ∎

Contra-exemplo 14.25 (Rotação do círculo).

Outro exemplo de transformação ergódica que não é misturadora é a rotação irracional no círculo $[0,1)$ , vista no Exemplo 14.21. Daremos mais detalhes na Seção 14.4. ∎

Sequências estacionárias

Seja ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência estacionária definida no espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Como visto na Seção 14.1, há uma correspondência entre sequências estacionárias definidas no contexto de um experimento aleatório e sequências da forma $(f\circ T^{k})_{k\in\mathbb{N}_{0}}$ , onde $T$ é uma transformação que preserva medida. Sendo assim, todas as definições e teoremas obtidos podem ser reformulados em termos de sequências estacionárias.

Sejam ${\boldsymbol{X}}$ sequência estacionária e $A\in\mathcal{F}$ um evento da forma $A=\{\omega:{\boldsymbol{X}}(\omega)\in B\}$ , para algum $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ dado. Dizemos que $A$ é invariante por translações de ${\boldsymbol{X}}$ se $A=\{\omega:\theta{\boldsymbol{X}}(\omega)\in B\}.$ Denotaremos por $\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}$ a $\sigma$ -álgebra dos eventos invariantes por translações de ${\boldsymbol{X}}$ . Dizemos que a sequência estacionária ${\boldsymbol{X}}$ é ergódica, se $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ para todo $A\in\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}$ . Isso é equivalente à propriedade de o operador de deslocamento $\theta$ ser ergódico no espaço de probabilidade induzido $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}),\mathbb{P}_{{% \boldsymbol{X}}})$ .

Enunciamos agora uma consequência imediata do Teorema Ergódico de Birkhoff.

Teorema 14.26 (Teorema Ergódico para sequências estacionárias).

Seja ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência estacionária com $X_{1}$ integrável. Então,

\lim_{n}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}=\mathbb{E}[X_{1}|\mathcal{I}_{{% \boldsymbol{X}}}]

q.t.p. Se ${\boldsymbol{X}}$ for uma sequência ergódica, então $\mathbb{E}[X_{1}|\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}]=\mathbb{E}X_{1}$ q.t.p.

Passemos ao exemplo mais forte de sequência ergódica.

Proposição 14.27.

Se ${\boldsymbol{X}}$ é uma sequência i.i.d., então é ergódica.

Demonstração.

A ideia é bem semelhante à prova da Lei 0-1 de Kolmogorov. Dado qualquer $A\in\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}$ , por definição existe $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ tal que $A=\{(X_{n},X_{n+1},\dots)\in B\}$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Pelo Teorema 13.5 (aproximação por álgebras), existe uma sequência de eventos $B_{n}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ tais que

\mathbb{P}(A\triangle A_{n})\to 0,

onde $A_{n}=\{(X_{1},\dots,X_{n})\in B_{n}\}$ . Logo,

\mathbb{P}(A_{n})\to\mathbb{P}(A)\quad\text{ e }\quad\mathbb{P}(A\cap A_{n})% \to\mathbb{P}(A).

Seja $n\in\mathbb{N}$ fixo. Como $A\in\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}$ , temos $A=\{(X_{n+1},X_{n+2},\dots)\in B\}$ , logo $A$ e $A_{n}$ são independentes, isto é,

\mathbb{P}(A\cap A_{n})=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(A_{n}).

Tomando o limite em $n$ , $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(A)$ , logo $\mathbb{P}(A)=0$ ou $1$ . ∎

Combinando os enunciados acima, temos o seguinte corolário.

Corolário 14.28 (Lei Forte dos Grandes Números).

Seja ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com $X_{1}$ integrável. Então,

\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}\overset{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow}\mathbb{E}X_% {1}.

Dizemos que a sequência estacionária ${{\boldsymbol{X}}}$ é misturadora se

\mathbb{P}(\theta^{n}{{\boldsymbol{X}}}\in A,\ {{\boldsymbol{X}}}\in B)\to% \mathbb{P}({{\boldsymbol{X}}}\in A)\mathbb{P}({{\boldsymbol{X}}}\in B)

para todos $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ . Isso é equivalente à propriedade de o operador de deslocamento $\theta$ ser misturador no espaço de probabilidade induzido $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}),\mathbb{P}_{{% \boldsymbol{X}}})$ .

Exemplo 14.29.

A sequência definida no Exemplo 14.5 é ergódica mas não é misturadora. ∎

Exemplo 14.30 (Deslocamento de sequências i.i.d.).

Se as variáveis aleatórias $X_{1},X_{2},\dots$ são i.i.d., então a sequência ${{\boldsymbol{X}}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ é misturadora.

Tome $\mu=\mathbb{P}_{X}$ em $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ . Sejam $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ e seja $\varepsilon>0$ . Pelo Teorema 13.5 (aproximação por álgebras), existem $n\in\mathbb{N}$ e eventos $\tilde{A},\tilde{B}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$ que dependem apenas das $n$ primeiras coordenadas, tais que

(14.31) (14.31)

\mu(A\triangle\tilde{A})<\varepsilon\quad\text{ e }\quad\mu(B\triangle\tilde{B% })<\varepsilon.

Seja $k\geqslant n$ . Observe que

\mu(\theta^{-k}(A)\triangle\theta^{-k}(\tilde{A}))=\mu(\theta^{-k}(A\triangle% \tilde{A}))=\mu(A\triangle\tilde{A})<\varepsilon,

onde a primeira igualdade é devida ao fato de que pré-imagem comuta com diferença simétrica e a segunda se deve ao fato de que $\theta$ preserva medida.

Por outro lado, como $(X_{1},\dots,X_{n})$ é independente de $(X_{k+1},\dots,X_{k+n})$ ,

\displaystyle\mu(\theta^{-k}(\tilde{A})\cap\tilde{B})=\mu(\theta^{-k}(\tilde{A% }))\cdot\mu(\tilde{B})=\mu(\tilde{A})\cdot\mu(\tilde{B}).

Combinando essa identidade com (14.31), segue que

|\mu(\theta^{-k}(A)\cap B)-\mu(A)\mu(B)|\leqslant 4\varepsilon

para todo $k\geqslant n$ . Como $\varepsilon$ é arbitrário, $\mu(\theta^{-k}(A)\cap B)\to\mu(A)\mu(B)$ . ∎

Eventos e funções quase invariantes

Em muitas situações práticas, temos uma transformação ergódica $T$ e gostaríamos de concluir que um dado evento $A$ satisfaz $\mu(A)=0$ ou $1$ , ou que uma dada função $f$ é constante q.t.p. Para isso, basta que $A$ ou $f$ sejam invariantes, porém essa condição é muito forte. Vejamos outra mais fácil de verificar.

Definição 14.32 (Quase invariante).

Dizemos que um evento $A\in\mathcal{E}$ é quase $T$ -invariante se $\mu(A\triangle T^{-1}(A))=0$ . Denotamos por $\mathcal{I}^{*}_{T}$ a classe dos conjuntos quase $T$ -invariantes. Dizemos que uma função mensurável $f:{E}\to\mathbb{R}$ é quase $T$ -invariante se $f=f\circ T$ q.t.p.

Exercício 14.33.

Mostre que $\mathcal{I}_{T}^{*}$ é uma $\sigma$ -álgebra. Mostre que $f$ é quase $T$ -invariante se, e somente se, for $\mathcal{I}_{T}^{*}$ -mensurável. ∎

As proposições abaixo estabelecem as relações entre conjuntos $T$ -invariantes, quase $T$ -invariantes e transformações ergódicas.

Proposição 14.34.

Seja $T$ é uma transformação que preserva medida. Para todo $A\in\mathcal{I}_{T}^{*}$ , existe $B\in\mathcal{I}_{T}$ tal que $\mu(A\triangle B)=0$ .

Demonstração.

Seja $A\in\mathcal{I}_{T}^{*}$ . Tome $B=\{x:T^{n}(x)\in A\ \text{i.v.}\}$ . Temos que $B\in\mathcal{I}_{T}$ , pois $T^{-1}(B)=\{x:T^{n+1}(x)\in A\ \text{i.v.}\}=B.$ Além disso, observe que $A\triangle B\subseteq\cup_{k=0}^{\infty}(T^{-k}(A)\triangle T^{-k-1}(A))$ . Por outro lado, como $T$ preserva medida e $A\in\mathcal{I}_{T}^{*}$ ,

\mu(T^{-k}(A)\triangle T^{-k-1}(A))=\mu(T^{-k}(A\triangle T^{-1}(A)))=\mu(A% \triangle T^{-1}(A))=0

para todo $k\in\mathbb{N}_{0}$ , o que conclui a prova. ∎

Proposição 14.35.

Se $T$ é ergódica, então $\mu(A)=0$ ou $1$ para todo $A$ quase $T$ -invariante e toda $f$ quase $T$ -invariante é constante q.t.p.

Demonstração.

Dado $A\in\mathcal{I}_{T}^{*}$ , pela Proposição 14.34, existe $B\in\mathcal{I}_{T}$ com $\mu(A\triangle B)=0$ , logo $\mu(A)=\mu(B)=0$ ou $1$ , pois $T$ é ergódica. A prova da afirmação sobre $f$ quase $T$ -invariante é idêntica à do Corolário 13.17 e será omitida. ∎