14.6 Exercícios

Sejam $U$ variável aleatória com distribuição uniforme em $[0,1)$ e $(X_{n})_{n}$ a sequência de variáveis aleatórias que denota a representação decimal de $U$ (caso haja mais de uma, considere aquela que termina com infinitos zeros); isto é, $U=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_{n}}{10^{n}}$. Dados $l\in\mathbb{N}$ e ${\boldsymbol{k}}=(k_{1},\dots,k_{l})\in\{0,1,\dots,9\}^{l}$ uma sequência de $l$ dígitos fixada, defina a sequência $(Z^{{\boldsymbol{k}}}_{n})$, onde $Z^{{\boldsymbol{k}}}_{n}=\mathds{1}_{\{X_{n}=k_{1},\dots,X_{n+l-1}=k_{l}\}}$. Mostre que a sequência $(Z^{{\boldsymbol{k}}}_{n})$ é estacionária.

Seja $(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência estacionária com $\mathbb{E}X_{1}^{2}<\infty$. Mostre que $\mathbb{E}X_{n}$ não depende de $n$ e a covariância entre duas variáveis da sequência é da forma $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X_{n},X_{k})=g(n-k)$ para alguma função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Considere $T:[0,1]\to[0,1]$ dada por

Mostre que $T$ é uma transformação que preserva a medida $\mu$ dada por

Seja $p>1$ e considere $T:[0,1]\to[0,1]$ dada por $T(x)=x^{p}$. Seja $f:[0,1]\to[0,+\infty)$ uma função mensurável com $\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=1$, e defina a medida $\mu$ por

Mostre que $T$ não preserva a medida $\mu$.

Seja $(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência estacionária. Mostre que, quase certamente, se $X_{1}\neq 0$, então $\sum_{n}|X_{n}|=+\infty$.

Sejam ${E}=\{1,\dots,m\}$, $\mathcal{E}=\mathcal{P}({E})$, $\mu(A)=\frac{\#A}{m}$ e $T:{E}\to{E}$ uma bijeção. Seja $f:E\to\mathbb{R}$ uma função qualquer. Descreva o limite da sequência

como uma função de $x$.

Dê um exemplo de uma sequência estacionária $(X_{1},X_{2},\dots)$ com $X_{1}$ integrável tal que

Estabeleça condições para que a transformação $T$ definida no Exercício 6 seja ergódica.

Seja $S$ a transformação definida no Exemplo 14.11.

1. (a)
   ​

   Mostre que $S$ é uma transformação ergódica
   Dica: Pense nos pontos de $[0,1)$ escritos na base $n$.

2. (b)
   ​

   Utilize o Teorema Ergódico para fornecer uma prova alternativa que quase todo número em $[0,1)$ é normal (conforme definido na Seção 8.4).

Sejam $n,k\in\mathbb{N}$, ${E}=\{1,\dots,n\}$, $\mathcal{E}=\mathcal{P}({E})$ e $\mu(A)=\frac{\#A}{n}$. Defina $T_{k}:{E}\to{E}$ por $T({x})={x}+k$ se $x+k<n$ e $x+k-n$ caso contrário.

1. (a)
   ​

   Mostre que $T$ preserva a medida $\mu$.

2. (b)
   ​

   Mostre que $T$ é ergódica se, e somente se, $n$ e $k$ são primos entre si.

3. (c)
   ​

   Nos casos em que $T$ for ergódica, podemos afirmar que $T$ é misturadora?

Mostre que uma transformação que preserva medida $T$ é misturadora se, e somente se,

para todas $f$ e $g$ funções mensuráveis.

Prove o Teorema 14.26.

Sejam ${\boldsymbol{X}}=(X_{1},X_{2},\dots)$ uma sequência de variáveis aleatórias e $f:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}$ uma função $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{N}})$-mensurável. Defina a sequência ${\boldsymbol{Z}}=(Z_{1},Z_{2},\dots)$, onde $Z_{n}=f(X_{n},X_{n+1},\dots)$. Mostre que:

1. (a)
   ​

   Se ${\boldsymbol{X}}$ é estacionário, então ${\boldsymbol{Z}}$ é estacionário.

2. (b)
   ​

   $\mathcal{I}_{{\boldsymbol{Z}}}\subseteq\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}$.

3. (c)
   ​

   Se ${\boldsymbol{X}}$ é ergódico, então ${\boldsymbol{Z}}$ é ergódico.

4. (d)
   ​

   Se ${\boldsymbol{X}}$ é estacionário e $Z_{1}$ é integrável, então

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Z_{k}=\mathbb{E}[Z_{1}|\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}]=\mathbb{E}[Z_{1}|\mathcal{I}_{{\boldsymbol{Z}}}]\ \text{ q.c.}$$
5. (e)
   ​

   Se ${\boldsymbol{X}}$ é ergódico e $Z_{1}$ é integrável, então $\mathbb{E}[Z_{1}|\mathcal{I}_{{\boldsymbol{X}}}]=\mathbb{E}[Z_{1}]\ \text{ q.c.}$

Seja $T$ uma função que preserva medida e $A\in\mathcal{E}$ tal que $\mu(T^{-1}(A)\setminus A)=0$. Mostre que $A$ é quase $T$-invariante.

Mostre que uma sequência estacionária $(X_{1},X_{2},\dots)$ é ergódica se, e somente se

para todos $k\in\mathbb{N}$ e $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{k})$.