14.5 Teorema Ergódico de von Neumann

Recordemos que estamos trabalhando em um espaço de probabilidade (E,E,μ)(E,\mathcal{E},\mu) e denotando a integral por 𝐄\mathbf{E}. Fixado p⩾1p\geqslant 1, definimos

‖f‖p=(𝐄⁢|f|p)1p\|f\|_{p}=\big{(}\mathbf{E}|f|^{p}\big{)}^{\frac{1}{p}}

e o conjunto Lp\mathcal{L}^{p} das funções f:Ω→ℝf:\Omega\to\mathbb{R} mensuráveis tais que ‖f‖p<∞\|f\|_{p}<\infty. Provaremos no Apêndice D.7 que vale a desigualdade triangular

‖f+g‖p⩽‖f‖p+‖g‖p\|f+g\|_{p}\leqslant\|f\|_{p}+\|g\|_{p}

para todas f,g∈Lpf,g\in\mathcal{L}^{p}. Observe também que ‖c⁢f‖p=|c|⋅‖f‖p\|cf\|_{p}=|c|\cdot\|f\|_{p} para todo c∈ℝc\in\mathbb{R}, logo Lp\mathcal{L}^{p} e um espaço vetorial real.2525 25 Observamos que ∥⋅∥p\|\cdot\|_{p} não é exatamente uma norma, nem mesmo restrita ao espaço Lp\mathcal{L}^{p}, pois ‖f‖p=0\|f\|_{p}=0 não implica necessariamente que ff seja a função constante igual a zero, apenas que f⁢(x)=0f(x)=0 para μ\mu-quase todo xx. Em Análise Funcional, costuma-se definir Lp\mathcal{L}^{p} em termos de classes de equivalência de funções que coincidem μ\mu-q.t.p., mas não nos preocuparemos com isso e usaremos a notação ∥⋅∥p\|\cdot\|_{p} mesmo sabendo que não é de fato uma norma.

O teorema abaixo complementa o Teorema Ergódico de Birkhoff, mostrando que também vale a convergência em Lp\mathcal{L}^{p} sob certas condições.

Teorema 14.41 (Teorema Ergódico de von Neumann).

Sejam TT uma transformação que preserva medida no espaço de probabilidade (E,E,μ)({E},\mathcal{E},\mu) e f∈Lpf\in\mathcal{L}^{p} com p⩾1p\geqslant 1. Então ∥𝐄[f|IT]∥p⩽∥f∥p\|\mathbf{E}[f\,|\,\mathcal{I}_{T}]\|_{p}\leqslant\|f\|_{p} e

1n⁢∑k=0n−1f∘Tk⁢→Lp⁢𝐄⁢[f|IT].\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}\overset{\mathcal{L}^{p}}{\rightarrow}%\mathbf{E}[f|\mathcal{I}_{T}]. (14.42)
Demonstração.

Segue direto do Teorema 11.53 que ∥𝐄[f|IT]∥p⩽∥f∥p\|\mathbf{E}[f\,|\,\mathcal{I}_{T}]\|_{p}\leqslant\|f\|_{p}.

Para a demonstração da convergência em Lp\mathcal{L}^{p}, consideramos inicialmente o caso em que ff é limitada q.t.p., isto é, existe constante c>0c>0 tal que f⩽cf\leqslant c q.t.p. Combinando o Teorema Ergódico de Birkhoff com o Teorema da Convergência Dominada em Lp\mathcal{L}^{p}, podemos concluir que vale (14.42).

Consideramos agora o caso geral. Dado ε>0\varepsilon>0, como |f|p|f|^{p} é integrável, usando truncamento e o Teorema da Convergência Dominada, podemos obter gg limitada tal que ‖f−g‖p<ε\|f-g\|_{p}<\varepsilon. Procedemos a estimar

∥𝐄[f|IT]−1n∑k=0n−1f∘Tk∥p⩽∥𝐄[f|IT]−𝐄[g|IT]∥p+\displaystyle\left\|\mathbf{E}[f\,|\,\mathcal{I}_{T}]-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n%-1}f\circ T^{k}\right\|_{p}\leqslant\Big{\|}\mathbf{E}[f\,|\,\mathcal{I}_{T}]-%\mathbf{E}[g\,|\,\mathcal{I}_{T}]\Big{\|}_{p}+
+∥𝐄[g|IT]−1n∑k=0n−1g∘Tk∥p+∥1n∑k=0n−1(f−g)∘Tk∥p\displaystyle\qquad+\left\|\mathbf{E}[g\,|\,\mathcal{I}_{T}]-\frac{1}{n}\sum_{%k=0}^{n-1}g\circ T^{k}\right\|_{p}+\left\|\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(f-g)%\circ T^{k}\right\|_{p}
⩽∥𝐄[f−g|IT]∥p+∥𝐄[g|IT]−1n∑k=0n−1g∘Tk∥p+∥f−g∥p\displaystyle\leqslant\Big{\|}\mathbf{E}[f-g\,|\,\mathcal{I}_{T}]\Big{\|}_{p}+%\left\|\mathbf{E}[g\,|\,\mathcal{I}_{T}]-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g\circ T^{%k}\right\|_{p}+\|f-g\|_{p}
⩽2∥f−g∥p+∥𝐄[g|IT]−1n∑k=0n−1g∘Tk∥p→2∥f−g∥p<2ε.\displaystyle\leqslant 2\|f-g\|_{p}+\left\|\mathbf{E}[g\,|\,\mathcal{I}_{T}]-%\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g\circ T^{k}\right\|_{p}\to 2\|f-g\|_{p}<2\varepsilon.

Na primeira desigualdade, utilizamos a desigualdade triangular. Na segunda, a desigualdade triangular combinada com o fato de que TT preserva medida. Na terceira, novamente o Teorema 11.53. O limite vale pelo caso anterior, pois gg é limitada q.t.p. Como a desigualdade acima é válida para todo ε>0\varepsilon>0, concluímos que (14.42) vale para toda f∈Lpf\in\mathcal{L}^{p}. ∎