11.4 Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra

Na Seção 11.1, mencionamos que partições mais finas que outras codificam uma situação em que se tem acesso a mais informação. Pensamos em “informação” como a coleção de eventos cuja ocorrência é acessível a um determinado observador. A forma mais geral de representar informação, quando tem-se acesso a infinitos eventos, é através de uma $\sigma$ -álgebra. Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $X$ uma variável aleatória e $\mathcal{G}$ uma $\sigma$ -álgebra mais grosseira que $\mathcal{F}$ , isto é, $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Não há motivo algum para que $X$ seja também mensurável com respeito à $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ . Em outras palavras, não há motivo para que a informação codificada por $\mathcal{G}$ , que é mais grosseira que $\mathcal{F}$ , seja suficiente para determinar o valor de $X$ . Uma pergunta natural surge: qual seria a melhor variável aleatória $\mathcal{G}$ -mensurável que poderia aproximar $X$ em algum sentido? Reformulando a pergunta: qual a melhor aproximação para $X$ quando temos acesso à informação codificada por $\mathcal{G}$ ? Nesta seção, daremos esta resposta. Trata-se de um conceito bastante abstrato, porém dos mais úteis e importantes em Probabilidade.

Teorema 11.39 (Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade, $X$ uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa, e $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra. Então existe uma variável aleatória estendida $Z$ que é $\mathcal{G}$ -mensurável e satisfaz

\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}\quad\text{ %para todo }A\in\mathcal{G}.

(11.40)

Dizemos que uma variável aleatória estendida com essas duas propriedades é uma esperança condicional de $X$ dado $\mathcal{G}$ , e a denotamos por $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ .

A prova será dada na próxima seção.

Observação 11.41.

A esperança condicional é única no seguinte sentido. Se $Z$ e $W$ são duas esperanças condicionais de $X$ dado $\mathcal{G}$ , então, pela Proposição 5.76, $Z=W$ q.c. Como a condição (11.40) é insensível ao que acontece em conjuntos de medida nula, somente podemos esperar unicidade nesse sentido. Por isso, toda afirmação a respeito de $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ virá com um quantificador de que vale quase certamente. ∎

Observação 11.42.

Se $X$ é integrável, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ também é integrável e podemos supor que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ é uma variável aleatória real (não assume valores infinitos). Se $X$ é não-negativa, pelo Exercício 5.64 podemos assumir que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ assume valores em $[0,+\infty]$ . ∎

Tomando $A=\Omega$ em (11.40), obtemos a propriedade da esperança iterada:

\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]]=\mathbb{E}X.

Outra propriedade da esperança condicional é que, se $X$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=X$ q.c.

Uma vantagem da definição de esperança condicional de uma variável aleatória estendida $X$ dada uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ é a sua generalidade, pois, como dissemos acima, $\sigma$ -álgebras são a ferramenta ideal para codificar informação. Com efeito, os objetos definidos nas duas seções anteriores são casos particulares da definição abaixo, como será justificado na Seção 11.6. A esperança condicional dada uma partição também é um caso particular, o que segue de (11.10).

No restante desta seção, assumimos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é um espaço de probabilidade fixado.

Definição 11.43.

Dadas duas variáveis aleatórias estendidas $X$ e $Y$ tais que $X$ é integrável ou não-negativa, definimos a esperança condicional de $X$ dada $Y$ por

\mathbb{E}[X|Y]=\mathbb{E}[X|\sigma(Y)],

ou seja, é a esperança condicional dada a $\sigma$ -álgebra gerada por $Y$ .

Teorema 11.44 (Propriedades da esperança condicional).

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias integráveis, $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra e $a,b,c\in\mathbb{R}$ . Então:

(1)

$\mathbb{E}[c|\mathcal{G}]=c$ q.c.
(2)

Se $X\leqslant Y$ q.c., então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\leqslant\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]$ q.c.
(3)

$\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{G}]=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y|%\mathcal{G}]$ q.c.

Essas propriedades também valem para variáveis aleatórias estendidas não-negativas $X$ e $Y$ com constantes $a,b,c\in[0,+\infty]$ .

Demonstração.

Para o item (1), observe que a variável constante $X(\omega)=c$ é $\mathcal{G}$ -mensurável e $\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}c\,\mathrm{d}\mathbb{P}$ para todo $A\in\mathcal{G}$ .

Para o item (3), observe que

	$\displaystyle\int_{A}(aX+bY)\,\mathrm{d}\mathbb{P}$	$\displaystyle=a\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P%}=a\int_{A}\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}+b\int_{A}\mathbb{E}%[Y\|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}$
		$\displaystyle=\int_{A}\Big{(}a\,\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y\|%\mathcal{G}]\Big{)}\mathrm{d}\mathbb{P},$

para todo $A\in\mathcal{G}$ , ou seja, $\mathbb{E}[aX+bY|\mathcal{G}]=a\,\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+b\,\mathbb{E}[Y|%\mathcal{G}]$ q.c.

Para provar o item (2), suponha que $X\leqslant Y$ q.c. Neste caso, podemos escrever $Y=X+Z$ q.c., onde $Z$ é não-negativa. Pelo Exercício 5.64, $\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]$ é não-negativa q.c., e, pelo item (3), $\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]+\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]%\geqslant\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c., concluindo a prova. ∎

O teorema seguinte nos diz que, se o valor de uma variável aleatória estendida é determinado pela informação codificada pela $\sigma$ -álgebra em questão, então ela sai da esperança condicional como se fosse uma constante. O Teorema 11.8 é um caso particular.

Teorema 11.45.

Se $Y$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, $\mathbb{E}|X|<\infty$ e $\mathbb{E}|XY|<\infty$ , então

\mathbb{E}[XY\big{|}\mathcal{G}]=Y\cdot\mathbb{E}[X\big{|}\mathcal{G}]\text{ q%.c.}

O mesmo vale se $X$ e $Y$ são não-negativas.

Demonstração.

Consideramos primeiro o caso em que $X$ e $Y$ são não-negativas. Seja $A\in\mathcal{G}$ . Tomando $Y_{0}=\mathds{1}_{B}$ para algum $B\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}XY_{0}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A\cap B}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=%\int_{A\cap B}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y_{0}%\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Por linearidade, se $Y_{n}$ é uma variável aleatória simples $\mathcal{G}$ -mensurável, vale

\int_{A}XY_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y_{n}\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G%}]\,\mathrm{d}\mathbb{P}.

Tomando $0\leqslant Y_{n}\uparrow Y$ , pelo Teorema da Convergência Monótona obtemos

\int_{A}XY\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\,%\mathrm{d}\mathbb{P},

o que conclui a prova já que $Y\cdot\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ é $\mathcal{G}$ -mensurável.

Consideramos agora o caso em que $X$ e $XY$ são integráveis. Queremos mostrar que vale a identidade acima para todo $A\in\mathcal{G}$ . Escrevendo $X=X^{+}-X^{-}$ e $Y=Y^{+}-Y^{-}$ e observando que $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}[X^{+}|\mathcal{G}]-\mathbb{E}[X^{-}|%\mathcal{G}]$ , é suficiente mostrar que

\int_{A}X^{\pm}Y^{\pm}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y^{\pm}\cdot\mathbb{E}[X^%{\pm}|\mathcal{G}]\,\mathrm{d}\mathbb{P},

mas isso segue diretamente do caso anterior. ∎

O teorema seguinte generaliza o Teorema 11.11.

Teorema 11.46 (Esperança condicional iterada).

Seja $\mathcal{H}$ uma $\sigma$ -álgebra tal que $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ , e $X$ uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa. Então valem as seguintes identidades:

(1)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]\big{|}\mathcal{G}\right]=\mathbb{E}%\left[X\big{|}\mathcal{H}\right]$ q.c.
(2)

$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}\mathcal{H}\right]=\mathbb{E}%\left[X\big{|}\mathcal{H}\right]$ q.c.

Uma interpretação visual do teorema acima no caso de $\sigma$ -álgebras geradas por finitos eventos é dada na Figura 11.2.

Demonstração.

Para clarificar, escrevemos $Y=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ e $Z=\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]$ . Para a primeira igualdade, basta observar que $Z$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, donde $\mathbb{E}[Z|\mathcal{G}]=Z$ q.c. Provemos agora a segunda igualdade. Seja $A\in\mathcal{H}$ . Pela definição de $Z$ , temos $\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}.$ Por outro lado, como $A\in\mathcal{G}$ , pela definição de $Y$ temos $\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P}.$ Como $Z$ é $\mathcal{H}$ -mensurável e $\int_{A}Z\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\,\mathrm{d}\mathbb{P}$ para todo $A\in\mathcal{H}$ , concluímos que $Z=\mathbb{E}[Y|\mathcal{H}]$ q.c. ∎

Definição 11.47.

Dizemos que uma variável aleatória estendida $X$ é independente da $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ se $\{X\leqslant a\}$ e $A$ são independentes para todos $a\in\mathbb{R}$ e $A\in\mathcal{G}$ .

Proposição 11.48.

Se $X$ é é uma variável aleatória estendida integrável ou não-negativa, e $X$ é independente de $\mathcal{G}$ , então $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=\mathbb{E}X$ q.c.

Demonstração.

Pela independência de $X$ e $\mathcal{G}$ , temos, para todo $A\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\mathbb{E}[X\mathds{1}_{A}]=\mathbb{E}X\cdot%\mathbb{E}[\mathds{1}_{A}]=\int_{A}(\mathbb{E}X)\,\mathrm{d}\mathbb{P}

e, sendo constante, $\mathbb{E}X$ é $\mathcal{G}$ -mensurável, o que conclui a prova. ∎

Os teoremas de convergência da integral, vistos na Seção 5.5, também têm seus análogos no contexto de esperança condicional. Nos três teoremas abaixo, $(X_{n})_{n}$ , $X$ e $Y$ denotam variáveis aleatórias definidas num mesmo espaço de probabilidade.

Teorema 11.49 (Convergência Monótona).

Sejam $(X_{n})_{n}$ e $X$ variáveis aleatórias estendidas não-negativas tais que $0\leqslant X_{n}\uparrow X$ q.c. Seja $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra. Então $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\to\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c.

Demonstração.

Tome $Y=\limsup_{n}\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]$ , que é $\mathcal{G}$ -mensurável. Como $0\leqslant\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\leqslant\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{G}]$ q.c., segue que $0\leqslant\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\uparrow Y$ q.c. Para $A\in\mathcal{G}$ ,

\int_{A}X_{n}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\,%\mathrm{d}\mathbb{P}

e, aplicando o Teorema da Convergência Monótona em ambos os lados,

\int_{A}X\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{A}Y\mathrm{d}\mathbb{P},

donde $\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]=Y$ q.c. ∎

Teorema 11.50 (Lema de Fatou).

Sejam $(X_{n})_{n}$ uma sequência de variáveis aleatórias estendidas não-negativas e uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Então $\mathbb{E}[\liminf_{n}X_{n}|\mathcal{G}]\leqslant\liminf_{n}\mathbb{E}[X_{n}|%\mathcal{G}]$ q.c.

A demonstração é análoga à do Teorema 5.69, trocando-se $\int_{\Omega}\cdot\,\mathrm{d}\mu$ por $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ .

Teorema 11.51 (Convergência Dominada).

Sejam $(X_{n})_{n}$ , $X$ e $Y$ variáveis aleatórias estendidas e uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ . Se $X_{n}\to X$ q.c. e $|X_{n}|<Y$ q.c. para alguma $Y$ integrável, então $\mathbb{E}[X_{n}|\mathcal{G}]\to\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ q.c.

A demonstração é análoga à do Teorema 5.70, trocando-se $\int_{\Omega}\cdot\,\mathrm{d}\mu$ por $\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]$ .

Teorema 11.52 (Desigualdade de Jensen).

Sejam $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ uma $\sigma$ -álgebra, $I$ um intervalo aberto, $g:I\to\mathbb{R}$ uma função convexa, e $X$ uma variável aleatória que assume valores em $I$ . Suponha que $X$ e $g(X)$ sejam integráveis. Então

g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])\leqslant\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}].

Demonstração.

A prova é análoga à demonstração do Teorema 6.23, porém há que se contornar algumas complicações técnicas. Para cada $z\in I$ fixo, existe $c=c(z)\in\mathbb{R}$ tal que $g(x)\geqslant g(z)+c(z)\cdot(x-z)$ para todo $x\in I$ . Como a função que leva $z$ em $c(z)$ é não-decrescente, também é mensurável.

Suponhamos inicialmente que essa função $c$ seja limitada. Tomando $Z=\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ , e observando que $Z$ e $g(Z)$ são $\mathcal{G}$ -mensuráveis, pelo Teorema 11.45

	$\displaystyle\mathbb{E}[g(X)\|\mathcal{G}]$	$\displaystyle\geqslant\mathbb{E}\big{[}g(Z)+c(Z)\cdot(X-Z)\big{\|}\mathcal{G}%\big{]}=$
		$\displaystyle\qquad=g(Z)+c(Z)\cdot\mathbb{E}[X\|\mathcal{G}]-c(Z)\cdot Z=g(Z),$

onde a primeira igualdade acima é devida ao Teorema 11.45.

Consideremos agora o caso geral. Somando uma constante a $X$ , podemos supor que $0\in I$ . Subtraindo $c(0)\cdot x$ , podemos supor que $g(x)\geqslant 0$ para todo $x\in I$ . Tome $[a_{n},b_{n}]\uparrow I$ com $a_{n}<0<b_{n}$ . Para cada $n$ fixo, definimos $g_{n}(x)=g(x)$ para $x\in[a_{n},b_{n}]$ , $g_{n}(x)=g(b_{n})+c(b_{n})\cdot(x-b_{n})$ para $x\geqslant b_{n}$ e $g_{n}(x)=g(a_{n})+c(a_{n})\cdot(x-a_{n})$ para $x\leqslant a_{n}$ . Observe que as funções $g_{n}$ são convexas, não-negativas, e satisfazem $g_{n}\uparrow g$ . Ademais, suas respectivas $c_{n}$ são limitadas a $[c(a_{n}),c(b_{n})]$ , donde $\mathbb{E}[g_{n}(X)|\mathcal{G}]\geqslant g_{n}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ . Como $g_{n}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])\uparrow g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ , pelo Teorema da Convergência Monótona, $\mathbb{E}[g_{n}(X)|\mathcal{G}]\uparrow\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}]$ , concluímos que $\mathbb{E}[g(X)|\mathcal{G}]\geqslant g(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}])$ . ∎

Teorema 11.53 (Contração em $\mathcal{L}^{p}$ ).

Se $p\geqslant 1$ e $|X|^{p}$ é integrável, então

\mathbb{E}\big{[}\,\big{|}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}^{p}\,\big{]}%\leqslant\mathbb{E}\big{[}\,|X|^{p}\,\big{]}.

Demonstração.

Primeiro, $X$ é integrável pois $|x|\leqslant 1+|x|^{p}$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Pela desigualdade de Jensen, $\big{|}\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]\big{|}^{p}\leqslant\mathbb{E}\big{[}|X|^{p}%\big{|}\mathcal{G}\big{]}$ pois $g(x)=|x|^{p}$ é convexa. Tomando esperança iterada, segue a desigualdade desejada. ∎

11.4 Esperança condicional dada uma σ\sigma-álgebra

Teorema 11.39 (Esperança condicional dada uma σ\sigma-álgebra).

Observação 11.41.

Observação 11.42.

Definição 11.43.

Teorema 11.44 (Propriedades da esperança condicional).

Demonstração.

Teorema 11.45.

Demonstração.

Teorema 11.46 (Esperança condicional iterada).

Demonstração.

Definição 11.47.

Proposição 11.48.

Demonstração.

Teorema 11.49 (Convergência Monótona).

Demonstração.

Teorema 11.50 (Lema de Fatou).

Teorema 11.51 (Convergência Dominada).

Teorema 11.52 (Desigualdade de Jensen).

Demonstração.

Teorema 11.53 (Contração em Lp\mathcal{L}^{p}).

Demonstração.

11.4 Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra

Teorema 11.39 (Esperança condicional dada uma $\sigma$ -álgebra).

Teorema 11.53 (Contração em $\mathcal{L}^{p}$ ).