6.3 Desigualdades básicas

Nesta seção, provaremos uma série de desigualdades de fundamental importância, que fornecem estimativas para probabilidades de eventos ou momentos de variáveis aleatórias.

O primeiro teorema é emblemático, a simplicidade de sua prova contrasta com sua enorme aplicabilidade, como veremos ao longo deste livro. Repare que começamos a utilizar esperança e momentos para estimar probabilidades.

Teorema 6.19 (Desigualdade de Markov).

Sejam $X$ uma variável aleatória, $\lambda>0$ e $t>0$ . Então,

\mathbb{P}(\left|X\right|\geqslant\lambda)\leqslant\frac{\mathbb{E}\left|X% \right|^{t}}{\lambda^{t}}\text{.}

Demonstração.

Como $|X|^{t}\geqslant\lambda^{t}\cdot\mathds{1}_{\{|X|^{t}\geqslant\lambda^{t}\}}$ , segue que $\mathbb{E}|X|^{t}\geqslant\lambda^{t}\cdot\mathbb{P}(|X|^{t}\geqslant\lambda^{% t})$ . Portanto, $\mathbb{P}(|X|\geqslant\lambda)=\mathbb{P}(|X|^{t}\geqslant\lambda^{t})% \leqslant\frac{\mathbb{E}|X|^{t}}{\lambda^{t}}.$ ∎

Teorema 6.20 (Desigualdade de Tchebyshev).

Seja $X$ uma variável aleatória integrável e seja $\lambda>0$ uma constante. Então,

\mathbb{P}\big{(}|X-\mathbb{E}X|\geqslant\lambda\big{)}\leqslant\frac{\mathbb{% V}X}{\lambda^{2}}.

Demonstração.

Aplicamos a Desigualdade de Markov a $X-\mathbb{E}X$ com $t=2$ :

\mathbb{P}\big{(}|X-\mathbb{E}X|\geqslant\lambda\big{)}\leqslant\frac{\mathbb{% E}[(X-\mathbb{E}X)^{2}]}{\lambda^{2}}=\frac{\mathbb{V}X}{\lambda^{2}}.\qed

Exemplo 6.21.

Estimar a probabilidade de uma variável aleatória $X$ não diferir de sua média $\mu$ por mais que duas vezes o valor do seu desvio-padrão $\sigma$ . Usando a Desigualdade de Tchebyshev,

$\displaystyle\mathbb{P}(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$	$\displaystyle=1-\mathbb{P}\big{(}\|X-\mathbb{E}X\|\geqslant 2\sigma)$
	$\displaystyle\geqslant 1-\frac{\mathbb{V}X}{(2\sigma)^{2}}=1-\frac{\sigma^{2}}% {4\sigma^{2}}=\frac{3}{4}.\qed$

Veremos agora uma desigualdade muito útil, que diz respeito a funções convexas. Dado um intervalo aberto $I\subseteq\mathbb{R}$ , dizemos que $g:I\to\mathbb{R}$ é uma função convexa se

g(ax+by)\leqslant ag(x)+bg(y)

para quaisquer $x,y\in I$ e $a,b\in[0,1]$ com $a+b=1$ . Essa condição de convexidade pode ser reescrita da seguinte maneira: para todos $x<z<y$ em $I$ , vale

(6.22) (6.22)

\frac{g(z)-g(x)}{z-x}\leqslant\frac{g(y)-g(z)}{y-z}.

Podemos obter outras caracterizações de convexidade explorando a possível diferenciabilidade de $g$ . Se $g^{\prime}$ existe e é não-decrescente em todo $I$ , então pelo Teorema do Valor Médio $g$ satisfaz (6.22) e, portanto, é convexa. Em particular, se $g^{\prime\prime}$ existe e é não-negativa em todo $I$ , então $g$ é convexa. São convexas em $\mathbb{R}$ as funções $g(x)=x$ , $g(x)=e^{x}$ e $g(x)=|x|^{p}$ com $p\geqslant 1$ . As funções $g(x)=x^{-1}$ , $g(x)=-\sqrt{x}$ e $g(x)=-\log x$ são convexas em $(0,+\infty)$ .

Teorema 6.23 (Desigualdade de Jensen).

Seja $I\subseteq\mathbb{R}$ um intervalo aberto, $g:I\to\mathbb{R}$ uma função convexa, e $X$ uma variável aleatória integrável assumindo valores em $I$ . Então, $\mathbb{E}[g(X)]$ está definida e

\mathbb{E}[g(X)]\geqslant g(\mathbb{E}X).

Observamos que o teorema acima não exclui a possibilidade de $\mathbb{E}[g(x)]=+\infty$ .

Demonstração.

A prova é ilustrada na Figura 6.2.

Figura 6.2: Prova da desigualdade de Jensen.

Preliminarmente, afirmamos que, para cada $z\in I$ fixo, existe $c\in\mathbb{R}$ tal que

g(w)\geqslant g(z)+c(w-z)

para todo $w\in I$ (caso $g$ seja diferenciável, podemos tomar $c=g^{\prime}(z)$ e estamos falando que o gráfico de $g$ está acima de suas retas tangentes). Com efeito, considerando os possíveis valores dos lados esquerdo e direito de (6.22) e usando o Teorema A.1, obtemos $c\in\mathbb{R}$ tal que $\frac{g(z)-g(x)}{z-x}\leqslant c\leqslant\frac{g(y)-g(z)}{y-z}$ para todo $x<z$ e todo $y>z$ , provando a afirmação.

Finalmente, tomando $z=\mathbb{E}X$ e usando $X$ no lugar de $w$ , obtemos

\mathbb{E}[g(X)]\geqslant\mathbb{E}\big{[}g(\mathbb{E}X)+c(X-\mathbb{E}X)\big{% ]}=g(\mathbb{E}X)+c\,\mathbb{E}X-c\,\mathbb{E}X=g(\mathbb{E}X),

o que conclui a demonstração. ∎

Vejamos alguns exemplos comuns de uso da Desigualdade de Jensen.

Exemplo 6.24.

Se $X$ é integrável e $p\geqslant 1$ , então

\mathbb{E}\left|X\right|^{p}\geqslant\left(\mathbb{E}\left|X\right|\right)^{p}% \geqslant\left|\mathbb{E}X\right|^{p}\quad\text{ e }\quad\mathbb{E}[e^{X}]% \geqslant e^{\mathbb{E}X}.

Se $X$ é integrável e positiva, então

\mathbb{E}[\tfrac{1}{X}]\geqslant\tfrac{1}{\mathbb{E}X}\quad\text{ e }\quad% \mathbb{E}[\log X]\leqslant\log(\mathbb{E}X).

Com efeito, a primeira desigualdade é obtida usando-se a desigualdade de Jensen com $|X|$ no lugar de $X$ e $g(x)=|x|^{p}$ , a segunda usa $g(x)=|x|$ , e as outras são imediatas da Desigualdade de Jensen. ∎

O próximo teorema é uma importante aplicação da Desigualdade de Jensen.

Teorema 6.25 (Desigualdade de Lyapunov).

Sejam $X$ uma variável aleatória e $0<q\leqslant p$ . Então,

\big{(}\mathbb{E}|X|^{q}\big{)}^{\frac{1}{q}}\leqslant\big{(}\mathbb{E}|X|^{p}% \big{)}^{\frac{1}{p}}.

Demonstração.

Se $\mathbb{E}|X|^{p}=+\infty$ a desigualdade vale trivialmente. Suponha que $\mathbb{E}|X|^{p}<\infty$ . Como $|x|^{q}\leqslant 1+|x|^{p}$ , segue que $|X|^{q}$ é integrável.

Observando que a função $g(x)=|x|^{p/q}$ é convexa, temos pela Desigualdade de Jensen que $(\mathbb{E}|X|^{p})=\mathbb{E}[(|X|^{q})^{p/q}]\geqslant(\mathbb{E}|X|^{q})^{p% /q}$ . Elevando todos os termos a $1/p$ , obtemos a desigualdade desejada. ∎

Terminamos esta seção com a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e uma de suas principais aplicações, a Desigualdade de Paley-Zygmund. Apesar de fundamentais em diversas aplicações, essas desigualdades não serão usadas no restante deste livro e podem ser omitidas em um curso introdutório.

Teorema 6.26 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz).

Se $X$ e $Y$ têm segundo momento finito, então $XY$ é integrável e

\mathbb{E}[XY]\leqslant\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}\,\sqrt{\mathbb{E}Y^{2}}.

Ainda, se $\mathbb{E}[XY]=\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}\,\sqrt{\mathbb{E}Y^{2}}$ , então existe $c\geqslant 0$ tal que $\mathbb{P}(Y=cX)=1$ , ou então $\mathbb{P}(X=0)=1$ .

Demonstração.

Primeiro veja que $XY$ é integrável porque $|XY|\leqslant X^{2}+Y^{2}$ . Sejam $a=\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}$ e $b=\sqrt{\mathbb{E}Y^{2}}$ . Se $a=0$ ou $b=0$ , o teorema vale trivialmente. Assumimos, então, que $0<a<\infty$ e $0<b<\infty$ . Observamos que

0\leqslant\mathbb{E}\left(\frac{X}{a}-\frac{Y}{b}\right)^{2}=\mathbb{E}\left(% \frac{X^{2}}{a^{2}}-2\frac{XY}{ab}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}\right)=2-\frac{2\,% \mathbb{E}[XY]}{ab},

donde

\mathbb{E}[XY]\leqslant ab=\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}\,\sqrt{\mathbb{E}Y^{2}}.

Se $\mathbb{E}[XY]=ab$ , vale a igualdade na equação acima, donde $\mathbb{E}\left(\frac{X}{a}-\frac{Y}{b}\right)^{2}=0,$ logo $\mathbb{P}(\frac{X}{a}-\frac{Y}{b}=0)=1$ e, portanto, $\mathbb{P}(Y=cX)=1$ com $c=\frac{b}{a}$ . ∎

Munidos dessa desigualdade, podemos finalmente provar a Proposição 6.18.

Demonstração da Proposição 6.18.

Sejam $\tilde{X}$ e $\tilde{Y}$ as padronizações de $X$ e $Y$ , respectivamente. Então,

\rho(X,Y)=\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(\tilde{X},\tilde{Y})=\mathbb{E}[% \tilde{X}\tilde{Y}]\leqslant\sqrt{\mathbb{E}\tilde{X}^{2}}\,\sqrt{\mathbb{E}% \tilde{Y}^{2}}=1,

onde a última desigualdade é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Suponha que $\rho(X,Y)=1$ . Neste caso, vale a igualdade na equação acima. Pela recíproca da Desigualdade de Cauchy-Schwarz, $\tilde{X}=0$ q.c. ou $\tilde{Y}=c\tilde{X}$ q.c. com $c\geqslant 0$ . Por outro lado, como $\mathbb{V}\tilde{X}=\mathbb{V}\tilde{Y}=1$ , segue que $\tilde{Y}=\tilde{X}$ q.c. e, portanto, $Y=aX+b$ q.c. com algum $a>0$ e $b\in\mathbb{R}$ . Reciprocamente, se $Y=aX+b$ q.c. com algum $a>0$ e $b\in\mathbb{R}$ , então $\tilde{Y}=\tilde{X}$ q.c., donde $\rho(X,Y)=1$ . Repetindo-se o mesmo argumento com $-X$ no lugar de $X$ , obtemos que $\rho(X,Y)\geqslant-1$ valendo a igualdade se, e somente se, $Y=aX+b$ q.c. com algum $a<0$ e $b\in\mathbb{R}$ . ∎

Exemplo 6.27.

Sejam $X=\mathds{1}_{A}$ e $Y=\mathds{1}_{B}$ variáveis aleatórias de Bernoulli com parâmetro $p$ , onde $A$ e $B$ são eventos independentes. Então,

\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[\mathds{1}_{A}\mathds{1}_{B}]=\mathbb{E}[\mathds{1}_% {A\cap B}]=\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)=p^{2}.

Por outro lado,

\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}\,\sqrt{\mathbb{E}Y^{2}}=\sqrt{\mathbb{E}X}\,\sqrt{% \mathbb{E}Y}=p.

Como $p^{2}\leqslant p$ , a Desigualdade de Cauchy-Schwarz é satisfeita, valendo a igualdade nos casos extremos $p=0$ e $p=1$ . ∎

As desigualdades a seguir cotam as probabilidades de uma variável aleatória ser grande ou pequena em função dos seus dois primeiros momentos. Elas são também conhecidas como método do primeiro e segundo momentos.

Teorema 6.28.

Seja $N$ uma variável aleatória assumindo valores inteiros e não-negativos. Então,

\mathbb{P}\big{(}N>0\big{)}\leqslant\mathbb{E}N.

Demonstração.

Como $\{N>0\}=\{N\geqslant 1\}$ , aplicando a Desigualdade de Markov, obtemos $\mathbb{P}(N>0)=\mathbb{P}(N\geqslant 1)\leqslant\mathbb{E}N$ . ∎

Teorema 6.29 (Desigualdade de Paley-Zygmund).

Seja $X$ uma variável aleatória não-negativa com segundo momento finito. Para todo $0\leqslant a<1$ , vale

\mathbb{P}\big{(}X>a\,\mathbb{E}X\big{)}\geqslant(1-a)^{2}\frac{(\mathbb{E}X)^% {2}}{\mathbb{E}X^{2}}.

Demonstração.

Basta escrever

\mathbb{E}X=\mathbb{E}\left[X\cdot\mathds{1}_{\{X\leqslant a\,\mathbb{E}X\}}% \right]+\mathbb{E}\left[X\cdot\mathds{1}_{\{X>a\,\mathbb{E}X\}}\right]% \leqslant a\,\mathbb{E}X+\mathbb{E}\left[X\cdot\mathds{1}_{\{X>a\,\mathbb{E}X% \}}\right].

Aplicando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz ao último termo, obtemos

\mathbb{E}X\leqslant a\,\mathbb{E}X+\left(\mathbb{E}X^{2}\cdot\mathbb{E}\left[% \mathds{1}^{2}_{\{X>a\,\mathbb{E}X\}}\right]\right)^{\frac{1}{2}}.

Logo,

(1-a)\,\mathbb{E}X\leqslant\left(\mathbb{E}X^{2}\cdot\mathbb{P}(X>a\,\mathbb{E% }X)\right)^{\frac{1}{2}}.

O que conclui a prova do teorema. ∎

O caso especial $a=0$ já é extremamente interessante, pois dá uma cota para que a variável aleatória assuma valores não-nulos a partir da estimativa de seu segundo momento em termos do quadrado do seu primeiro momento.