6.4 Exercícios

Calcule $\mathbb{V}X$, onde:

1. (a)
   ​

   $X\sim\mathop{\mathrm{Geom}}\nolimits(\lambda)$.

2. (b)
   ​

   $X\sim\mathop{\mathrm{Poisson}}\nolimits(\lambda)$.

3. (c)
   ​

   $X\sim\mathop{\mathrm{Exp}}\nolimits(\lambda)$.

4. (d)
   ​

   $X\sim\mathop{\mathrm{Laplace}}\nolimits(a,b)$.

Sejam $X\sim\mathcal{U}[0,3]$ e $Y=\max\{X,1\}$, calcule $\mathbb{V}Y$.

Sejam $X\sim\mathcal{U}[0,2\pi]$, $Y=\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits X$ e $Z=\cos X$ variáveis aleatórias. Calcule $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(Y,Z)$. As variáveis $Y$ e $Z$ são independentes?

Sejam $X$ uma variável aleatória e $a<b$ tais que $\mathbb{P}(a\leqslant X\leqslant b)=1$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $\mathbb{V}X\leqslant(\mathbb{E}X-a)(b-\mathbb{E}X)$.

2. (b)
   ​

   Mostre que vale a igualdade na desigualdade acima se, e somente se, $\mathbb{P}(X=a)+\mathbb{P}(X=b)=1$.

Sugestão: Faça primeiro supondo que $a=0$ e $b=1$.

Mostre que, se $X$ é integrável, então o mínimo de $\mathbb{E}(X-c)^{2}$ é atingido quando $c=\mathbb{E}X$.

Dizemos que o número real $m$ é uma mediana para a variável aleatória $X$, se $\mathbb{P}(X\geqslant m)\geqslant\tfrac{1}{2}$ e $\mathbb{P}(X\leqslant m)\geqslant\tfrac{1}{2}$. Mostre que, se $m$ uma mediana de $X$, então o mínimo de $\mathbb{E}|X-c|$ é atingido quando $c=m$.

Seja $X$ uma variável aleatória discreta com função de probabilidade

Calcule $\mathbb{V}X$. Dica: Desenvolver $(n-1)(n-2+1)+2(n-1)+1$.

Seja $X$ uma variável aleatória absolutamente contínua com função densidade dada por

onde $r$ e $a$ são números reais com $r>0$.

1. (a)
   ​

   Calcule $\mathbb{E}X$ e $\mathbb{V}X$.

2. (b)
   ​

   Deduza uma fórmula para o $k$-ésimo momento central de $X$.

Seja $(X,Y)$ um vetor aleatório com distribuição uniforme no círculo unitário $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}<1\}$, isto é, com densidade conjunta $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathds{1}_{C}(x,y)$. Calcule $\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X,Y)$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes com quarto momento finito. Mostre que

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição $\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(\frac{1}{2})$

1. (a)
   ​

   Mostre que $X+Y$ e $|X-Y|$ são não-correlacionadas.

2. (b)
   ​

   Elas são independentes?

Sejam $X_{1},\dots,X_{n}$ variáveis aleatórias i.i.d. não degeneradas com segundo momento finito. Calcule $\rho(X_{1}+\dots+X_{n},X_{1})$.

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias i.i.d.

1. (a)
   ​

   Calcule $\rho(X,2X)$ e $\rho(X,X+Y)$.

2. (b)
   ​

   Saberia explicar, sem fazer o cálculo do item anterior, por quê os valores de $\rho(X,2X)$ e $\rho(X,X+Y)$ são iguais ou diferentes?

Prove que $\mathbb{E}|X|\leqslant\sqrt{\mathbb{E}X^{2}}$ sem usar as desigualdades de Jensen e Lyapunov.

Suponha que $X$ seja uma variável aleatória tal que $\mathbb{E}X=10$, $\mathbb{P}(X\leqslant 7)=\frac{2}{10}$ e $\mathbb{P}(X\geqslant 13)=\frac{3}{10}$. Prove que $\mathbb{V}X\geqslant\frac{9}{2}$.

Considere uma sequência de variáveis aleatórias $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ i.i.d. com distribuição $\mathop{\mathrm{Bernoulli}}\nolimits(p)$. Encontre um número $n$ para o qual a média observada, dada por

não difira da média $p$ por mais de $0{,}01$, com probabilidade mínima de $0{,}95$.

Suponha que $X$ seja uma variável aleatória tal que $\mathbb{P}(X\geqslant 0)=1$ e $\mathbb{P}(X\geqslant 10)=\frac{1}{5}$. Mostre que $\mathbb{E}X\geqslant 2$.

Se $X$ é não-degenerada, de quadrado integrável, e $X\geqslant 0$ q.c., prove que

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias com $\mathbb{E}X=\mathbb{E}Y=0,\mathbb{V}X=\mathbb{V}Y=1$ e $\rho=\mathop{\mathbf{Cov}}\nolimits(X,Y)$.

1. (a)
   ​

   Mostre que $\mathbb{E}[\max\{X^{2},Y^{2}\}]\leqslant 1+\sqrt{1-\rho^{2}}$.

2. (b)
   ​

   (Tchebyshev bi-dimensional). Conclua que, para todo $\varepsilon>0$,

   $$\mathbb{P}(|X|\geqslant\varepsilon\text{ ou }|Y|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{1+\sqrt{1-\rho^{2}}}{\varepsilon^{2}}.$$

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias. Prove que $[F_{X,Y}(x,y)]^{2}\leqslant F_{X}(x)F_{Y}(y)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$.