5.5 Integral de Lebesgue

Em Análise Real, primeiro vemos a integral de Riemann, que aproxima a área abaixo de uma curva por retângulos verticais. Entretanto, este não é o procedimento mais adequado quando analisamos sequências de funções. Por exemplo, suponha que queremos mostrar que

\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-nx^{2}}}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=0

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{0}^{+\infty}e^{tx}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{% 0}^{+\infty}xe^{tx}f(x)\,\mathrm{d}x

para alguma função contínua e limitada $f$ . Em princípio, poderíamos usar um emaranhado de teoremas do Cálculo Avançado. A integral de Lebesgue, por outro lado, aproxima a área abaixo de uma curva por retângulos horizontais, e essa pequena diferença a torna muitíssimo mais flexível. Por exemplo, as identidades acima ficam muito mais simples se usamos o Teorema da Convergência Dominada, que apresentaremos nesta seção.

O principal motivo para usar a integral de Lebesgue é a forma robusta com que ela comuta com limites, derivadas, séries e outras integrais.

Figura 5.4: Comparação entre a integral de Riemann em $\mathbb{R}$ e a integral de Lebesgue em um espaço de medida.

Outra razão para introduzir a integral de Lebesgue é que a maioria dos espaços de medida (incluindo espaços de probabilidade!) não podem ser facilmente particionados em pequenos intervalos ou cubos contíguos como em $\mathbb{R}^{n}$ , mas, ainda assim, podemos medir suas partes. Para definir a integral neste caso, em vez de particionar o domínio e medir a altura do gráfico no contradomínio, particionamos o contradomínio e medimos pedaços do domínio, como mostrado na Figura 5.4.

5.5.1 Construção

Vamos construir a integral de uma função $f$ com respeito a uma medida $\mu$ , denotada

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu\quad\text{ ou }\quad\int_{\Omega}f(\omega)\,\mu(% \mathrm{d}\omega).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida. Dizemos que $f:\Omega\to\mathbb{R}$ é uma função simples se é mensurável e toma apenas finitos valores.

Se $f$ é uma função simples não-negativa, definimos sua integral por

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\sum_{x}x\cdot\mu\big{(}\{\omega\in\Omega:f(% \omega)=x\}\big{)}.

Teorema 5.57.

Sejam $f$ e $g$ funções simples não-negativas e $a\in[0,+\infty)$ . Então, valem as seguintes propriedades:

(1)

$\int_{\Omega}\mathds{1}_{A}\,\mathrm{d}\mu=\mu(A)$ para todo $A\in\mathcal{F}$ .
(2)

Monotonicidade: se $f\geqslant g\geqslant 0$ , então $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu\geqslant 0$ .
(3)

Linearidade: $\int_{\Omega}(af+g)\,\mathrm{d}\mu=a\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega% }g\,\mathrm{d}\mu$ .

Demonstração.

A propriedade (1) vale por construção. Linearidade é provada de forma idêntica ao Teorema 5.9. Para a monotonicidade, observamos que $(f-g)$ é simples e não-negativa, donde

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}(g+f-g)\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g% \,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega}(f-g)\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}g\,% \mathrm{d}\mu\geqslant 0.\qed

O próximo passo é definir a integral de uma função $f:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável, o que fazemos aproximando-a por baixo por funções simples:

(5.58) (5.58)

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\sup\Big{\{}\textstyle\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}% \mu:0\leqslant g\leqslant f\text{ e $g$ \'{e} simples}\Big{\}}.

Note que para funções não-negativas simples, essa definição coincide com a anterior tomando-se $g=f$ e usando monotonicidade.

Teorema 5.59.

Vale o Teorema 5.57 supondo funções $f,g:\Omega\to[0,+\infty]$ mensuráveis e constante $a\in[0,+\infty]$ .

A propriedade (1) vale pelo caso anterior, e monotonicidade vale por inclusão: quanto maior $f$ , mais funções simples entram no supremo em (5.58). Falta provar a linearidade. Para isso, usaremos o Teorema da Convergência Monótona, um dos teoremas fulcrais da Teoria da Medida.

Teorema 5.60 (Teorema da Convergência Monótona).

Seja $(f_{n})_{n}$ uma sequência de funções mensuráveis de $\Omega$ em $[0,+\infty]$ tais que $f_{n+1}(\omega)\geqslant f_{n}(\omega)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e $\omega\in\Omega$ . Então,

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega)=\int_{\Omega}% (\lim_{n\to\infty}f_{n}(\omega))\mu(\mathrm{d}\omega).

Demonstração.

Denotemos $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ . Pela monotonicidade da integral, a sequência $\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu$ é não-decrescente e limitada por $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ . Logo, ela tem limite, e

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{\Omega}f\,% \mathrm{d}\mu.

Resta mostrar a desigualdade oposta. Seja $0\leqslant g\leqslant f$ simples, tomando valores $a_{1},\dots,a_{k}$ . Seja $0<\alpha<1$ e $A_{n}=\{\omega:f_{n}(\omega)\geqslant\alpha g(\omega)\}$ . Como $f\geqslant g$ e $0\leqslant f_{n}\uparrow f$ , para cada $\omega$ existe $n$ tal que $f_{n}(\omega)\geqslant\alpha g(\omega)$ , logo $A_{n}\uparrow\Omega$ e

$\displaystyle\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu$	$\displaystyle\geqslant\int_{\Omega}(f_{n}\mathds{1}_{A_{n}})\,\mathrm{d}\mu% \geqslant\int_{\Omega}(\alpha g\mathds{1}_{A_{n}})\,\mathrm{d}\mu$
	$\displaystyle=\alpha\sum_{j=1}^{k}a_{j}\mu\big{(}\{\omega\in A_{n}:g(\omega)=a% _{j}\}\big{)}\to\alpha\sum_{j=1}^{k}a_{j}\mu\big{(}g=a_{j}\big{)}$
	$\displaystyle=\alpha\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu.$

Logo,

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geqslant\alpha\int_{\Omega}% g\,\mathrm{d}\mu.

Como isso vale para todo $0<\alpha<1$ , concluímos que

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}g\,% \mathrm{d}\mu.

Como isso vale para toda função simples $g$ tal que $0\leqslant g\leqslant f$ ,

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}f\,% \mathrm{d}\mu.\qed

Aplicando o teorema anterior a somas parciais $g_{n}=f_{1}+\dots+f_{n}$ , deduzimos o seguinte corolário.

Corolário 5.61.

Seja $(f_{n})_{n}$ uma sequência de funções mensuráveis de $\Omega$ em $[0,+\infty]$ . Então,

\int_{\Omega}\Big{(}\sum_{n}f_{n}\Big{)}\mathrm{d}\mu=\sum_{n}\int_{\Omega}f_{% n}\,\mathrm{d}\mu.

Como fizemos para a esperança, inúmeras propriedades da integral de Lebesgue serão demonstradas combinando-se o Teorema da Convergência Monótona com a aproximação por funções simples.

Proposição 5.62.

Dada uma função mensurável $f:\Omega\to[0,+\infty]$ , existe uma sequência de funções simples $f_{n}$ tais que $0\leqslant f_{n}\uparrow f$ para todo $\omega$ .

Demonstração.

Seja $\psi_{n}:[0,+\infty]\to[0,+\infty)$ a função definida em (5.46) e observamos que $0\leqslant\psi_{n}(x)\uparrow x$ para todo $x\in[0,+\infty]$ . Tomando $f_{n}=\psi_{n}\circ f$ obtemos a sequência desejada. ∎

Agora estamos aptos a terminar a prova do Teorema 5.59.

Demonstração do Teorema 5.59.

Falta provar a linearidade. Sejam $f,g:\Omega\to[0,+\infty]$ funções mensuráveis $a\in[0,+\infty]$ . Se $a\in[0,+\infty)$ , temos $\int_{\Omega}(af)\,\mathrm{d}\mu=a\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ diretamente de (5.58). Se $a=+\infty$ , demonstra-se a mesma igualdade tomando-se uma sequência $(a_{n})_{n}$ , tal que $a_{n}\uparrow+\infty$ e aplicando-se o Teorema da Convergência Monótona. Finalmente, pela Proposição 5.62, existem sequências de funções simples não-negativas $f_{n}\uparrow f$ e $g_{n}\uparrow g$ . Usando o Teorema da Convergência Monótona três vezes e linearidade para a integral de funções simples não-negativas,

$\displaystyle\int_{\Omega}(f+g)\,\mathrm{d}\mu$	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}(f_{n}+g_{n})\,\mathrm{d}\mu=\lim_% {n\to\infty}\Big{(}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega}g_{n}\,% \mathrm{d}\mu\Big{)}=$
	$\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu+\lim_{n\to% \infty}\int_{\Omega}g_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{% \Omega}g\,\mathrm{d}\mu,$

o que conclui a prova. ∎

Dizemos que uma propriedade vale para $\mu$ -quase todo $\omega\in\Omega$ , ou em $\mu$ -quase toda parte, abreviado por $\mu$ -q.t.p., se existe um conjunto $A\in\mathcal{F}$ tal que $\mu(A^{c})=0$ e tal que essa propriedade vale para todo $\omega\in A$ . Caso $\mu$ esteja claro no contexto, podemos dizer simplesmente “q.t.p.” omitindo $\mu$ .

Exercício 5.63.

Seja $f:\Omega\to[0,+\infty]$ uma função mensurável. Mostre que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=0$ se, e somente se, $f=0$ q.t.p. ∎

Dada uma função mensurável $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ , denote sua parte positiva por $f^{+}$ e sua parte negativa por $f^{-}$ . Definimos

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}f% ^{-}\,\mathrm{d}\mu

caso uma das integrais seja finita, caso contrário dizemos que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ não está definida. Quando ambas as integrais são finitas, dizemos que $f$ é integrável. Observe que, se $f$ é integrável, então $f$ é finita q.t.p.

Essa definição também dá origem a um operador linear.

Teorema 5.64.

Sejam $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ e $g:\Omega\to\mathbb{R}$ funções mensuráveis. Sejam $a,b\in\mathbb{R}$ . Suponha que $g$ seja integrável. Então, valem as seguintes propriedades.

(1)

Monotonicidade: se $f\geqslant g$ para todo $\omega$ , então $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ está definida e $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu$ .
(2)

Linearidade: $\int_{\Omega}(af+bg)\,\mathrm{d}\mu=a\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu+b\int_{% \Omega}g\,\mathrm{d}\mu$ , desde que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ esteja definida.

Demonstração.

Começamos pela linearidade. Mostraremos primeiro que $\int_{\Omega}(af)\mathrm{d}\mu=a\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ . Suponhamos inicialmente que $a>0$ . Desenvolvendo,

$\displaystyle\int_{\Omega}(af)\,\mathrm{d}\mu$	$\displaystyle=\int_{\Omega}(af^{+})\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}(af^{-})\,% \mathrm{d}\mu$
	$\displaystyle=a\int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-a\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{% d}\mu$
	$\displaystyle=a\Big{(}\int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}f^{-}\,% \mathrm{d}\mu\Big{)}=a\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu.$

Essas expressões não contêm “ $\infty-\infty$ ” porque estamos supondo que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ está definida. Para o caso $a\leqslant 0$ basta considerar $-f$ no lugar de $f$ .

Para terminar a prova da linearidade, resta mostrar que $\int_{\Omega}(f+g)\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega}g% \,\mathrm{d}\mu$ . Como estamos supondo que $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ está definida, temos $\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}\mu<\infty$ ou $\int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu<\infty$ . Suponhamos que valha o primeiro caso; se for o segundo, o argumento será análogo. Como $g$ é integrável, temos $\int_{\Omega}g^{-}\,\mathrm{d}\mu<\infty$ e $\int_{\Omega}(f+g)^{-}\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}% \mu+\int_{\Omega}g^{-}\,\mathrm{d}\mu<\infty$ . Em particular, $f^{-}$ , $g^{-}$ e $(f+g)^{-}$ são finitas q.t.p. Observamos que

(f+g)^{+}-(f+g)^{-}=f+g=f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-},

donde

(f+g)^{+}+f^{-}+g^{-}=(f+g)^{-}+f^{+}+g^{+}.

Observando que todas as funções acima são não-negativas, pela aditividade dada pelo Teorema 5.59, segue que

\int_{\Omega}(f+g)^{+}\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}\mu+\int_{% \Omega}g^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}(f+g)^{-}\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega% }f^{+}\,\mathrm{d}\mu+\int_{\Omega}g^{+}\,\mathrm{d}\mu.

Podemos subtrair os três termos finitos de ambos os lados, obtendo

\int_{\Omega}(f+g)^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}(f+g)^{-}\,\mathrm{d}\mu=% \int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}\mu+\int_{% \Omega}g^{+}\,\mathrm{d}\mu-\int_{\Omega}g^{-}\,\mathrm{d}\mu,

o que conclui a prova da linearidade.

Para monotonicidade, observe que, sendo $g$ integrável e $f\geqslant g$ , temos $f^{-}\leqslant g^{-}$ , logo $\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}\mu<\infty$ e, portanto, $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ está definida. Por linearidade,

\displaystyle\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu+\int_% {\Omega}(f-g)\mathrm{d}\mu\geqslant\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu,

o que conclui a prova. ∎

5.5.2 Principais propriedades

Dado um conjunto $B\in\mathcal{F}$ , a integral de $f$ em $B$ é definida como

\int_{B}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}(f\mathds{1}_{B})\,\mathrm{d}\mu.

Exercício 5.65.

Seja $f:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável. Mostre que $\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu\geqslant 0$ para todo $A\in\mathcal{F}$ se, e somente se, $f\geqslant 0$ q.t.p. ∎

Seja $f$ uma função mensurável de $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ em $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ . Dada uma função mensurável $g:\Omega_{2}\to[-\infty,+\infty]$ , podemos definir o seu pull-back em $\Omega_{1}$ dado pela função $f^{*}g=g\circ f$ em $\Omega_{1}$ . Juntamente com $\sigma(f)$ e $f_{*}\mu$ definidos na Seção 3.7, obtemos o seguinte diagrama:

Em suma, a partir de uma função que leva pontos $\omega_{1}\in\Omega_{1}$ a pontos $\omega_{2}\in\Omega_{2}$ , podemos puxar uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{2}$ de volta para uma $\sigma$ -álgebra em $\Omega_{1}$ , empurrar uma medida em $\Omega_{1}$ adiante para uma medida em $\Omega_{2}$ e puxar um observável definido em $\Omega_{2}$ de volta para um observável definido em $\Omega_{1}$ .

Teorema 5.66 (Mudança de variável).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ um espaço de medida, $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ um espaço mensurável, $f:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ uma função mensurável, e $g:\Omega_{2}\to[0,+\infty]$ também mensurável. Então,

\int_{\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(f_{*}\mu)=\int_{\Omega_{1}}(f^{*}g)\,\mathrm{d}\mu.

Demonstração.

Supondo que $g=\mathds{1}_{C}$ para algum $C\in\mathcal{F}_{2}$ , temos que $f^{*}g=\mathds{1}_{D}$ onde $D=f^{-1}(C)\in\mathcal{F}_{1}$ . Substituindo essas identidades, obtemos

\int_{\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(f_{*}\mu)=(f_{*}\mu)(C)=\mu(f^{-1}(C))=\mu(D)=% \int_{\Omega_{1}}(f^{*}g)\,\mathrm{d}\mu,

provando a identidade para funções indicadoras.

Suponha agora que $g:\Omega_{2}\to[0,+\infty)$ é simples, de forma que $g=\sum_{j=1}^{k}a_{j}\mathds{1}_{A_{j}}$ . Usando a linearidade das integrais e do operador $f^{*}$ , combinados com a identidade já provada para funções indicadoras, obtemos

$\displaystyle\int_{\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(f_{*}\mu)$	$\displaystyle=\int_{\Omega_{2}}\Big{(}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\mathds{1}_{A_{j}}% \Big{)}\,\mathrm{d}(f_{}\mu)={\sum_{j=1}^{k}}a_{j}\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}% _{A_{j}}\,\mathrm{d}(f_{}\mu)$
	$\displaystyle={\sum_{j=1}^{k}}a_{j}\int_{\Omega_{1}}(f^{}\mathds{1}_{A_{j}})% \,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega_{1}}\Big{(}f^{}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\mathds{1}_{A_% {j}}\Big{)}\,\mathrm{d}\mu$
	$\displaystyle=\int_{\Omega_{1}}(f^{*}g)\,\mathrm{d}\mu.$

Finalmente, seja $g:\Omega_{2}\to[0,+\infty]$ mensurável. Tome uma sequência de funções simples tais que $0\leqslant g_{n}\uparrow g$ . Usando o Teorema da Convergência Monótona duas vezes, combinado com a identidade já provada para funções simples e com o fato de que o operador $f^{*}$ comuta com o limite, obtemos

$\displaystyle\int_{\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(f_{*}\mu)$	$\displaystyle=\lim_{n}\int_{\Omega_{2}}g_{n}\,\mathrm{d}(f_{}\mu)=\lim_{n}% \int_{\Omega_{1}}(f^{}g_{n})\,\mathrm{d}\mu$
	$\displaystyle=\int_{\Omega_{1}}\lim_{n}(f^{}g_{n})\,\mathrm{d}\mu=\int_{% \Omega_{1}}(f^{}\lim_{n}g_{n})\,\mathrm{d}\mu$
	$\displaystyle=\int_{\Omega_{1}}(f^{*}g)\,\mathrm{d}\mu.$

Isso prova a identidade desejada no caso geral. ∎

A prova acima segue um padrão muito comum, de provar uma propriedade para funções indicadoras, estender para funções simples por linearidade, e estender para funções não-negativas pelo Teorema da Convergência Monótona. Nas próximas demonstrações, esses passos serão abreviados e os detalhes serão omitidos.

A esperança de uma variável aleatória $X$ nada mais é do que a integral de Lebesgue da função mensurável $X$ com respeito à medida $\mathbb{P}$ .

Teorema 5.67.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ um espaço de probabilidade e $X$ uma variável aleatória. Então, a esperança de $X$ é dada por

\mathbb{E}X=\int_{\Omega}X\,\mathrm{d}\mathbb{P},

desde que uma das duas esteja definida.

Demonstração.

Se $X$ é da forma $X=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\mathds{1}_{A_{k}}$ , pelas propreidades da esperança e da integral, segue que $\mathbb{E}X=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\mathbb{P}(A_{k})=\int_{\Omega}X\,\mathrm{d}% \mathbb{P}$ . Se $X$ é não-negativa, obtemos a identidade usando ambas as versões do Teorema da Convergência Monótona, para a esperança e para a integral. Finalmente, no caso em que $X$ é uma variável aleatória qualquer, basta observar que $\mathbb{E}X=\mathbb{E}X^{+}-\mathbb{E}X^{-}=\int_{\Omega}X^{+}\,\mathrm{d}% \mathbb{P}-\int_{\Omega}X^{-}\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\Omega}X\,\mathrm{d}% \mathbb{P}$ , desde que uma das duas diferenças acima esteja definida. ∎

A integral de Lebesgue tem a vantagem adicional de nos permitir generalizar a noção de esperança para variáveis aleatórias estendidas $X:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ , via a fórmula $\mathbb{E}X=\int_{\Omega}X\,\mathrm{d}\mathbb{P}$ .

Quando consideramos uma variável aleatória $X$ em um espaço de probabilidade, fazendo mudança de variável com $g(x)=x^{+}$ e $g(x)=x^{-}$ , obtemos

\mathbb{E}X=\int_{\mathbb{R}}x\,\mathbb{P}_{X}(\mathrm{d}x),

que é válido desde que um dos lados esteja definido.

Proposição 5.68 (Funções iguais q.t.p.).

Sejam $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $f,g:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ funções mensuráveis. Se $f=g$ q.t.p., então

\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu,

desde que uma das duas esteja definida.

Demonstração.

Tome $A=\{\omega:f(\omega)=g(\omega)\}\in\mathcal{F}$ . Defina $f_{1}=f\mathds{1}_{A}$ e $f_{2}=f_{1}+\infty\cdot\mathds{1}_{A^{c}}$ . Então, $0\leqslant f_{1}^{+}\leqslant f^{+}\leqslant f_{2}^{+}\text{ e }0\leqslant f_{% 1}^{+}\leqslant g^{+}\leqslant f_{2}^{+}.$ Como $\int_{\Omega}f_{2}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}f_{1}\,\mathrm{d}\mu+\infty% \cdot\mu(A^{c})=\int_{\Omega}f_{1}\,\mathrm{d}\mu,$ por monotonicidade obtemos $\int_{\Omega}f^{+}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g^{+}\,\mathrm{d}\mu.$ Por um argumento similar, $\int_{\Omega}f^{-}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g^{-}\,\mathrm{d}\mu.$ Assumindo que uma dessas duas seja finita, obtemos $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu.$ ∎

Observamos que a soma de uma família $(x_{\alpha})_{\alpha\in\Lambda}$ de números estendidos não-negativos, definida em (C.1), coincide com a integral de Lebesgue da função $f(\alpha)=x_{\alpha}$ com respeito à medida de contagem em $\Lambda$ . Ou seja,

(5.69) (5.69)

\sum_{\alpha\in\Lambda}x_{\alpha}=\int_{\Lambda}x_{\alpha}\,\nu(\mathrm{d}% \alpha),

onde $\nu$ é a medida de contagem em $\Lambda$ . Com efeito, se para algum $a>0$ existem infinitos $\alpha$ tais que $x_{\alpha}=a$ , então tanto a integral quanto a soma são infinitos e, se não existe $a$ com essa propriedade, então o lado direito de (C.1) e de (5.58) dão o mesmo valor. Estendemos a noção de soma para famílias de números estendidos por

\sum_{\alpha\in\Lambda}x_{\alpha}=\sum_{\alpha\in\Lambda}x_{\alpha}^{+}-\sum_{% \alpha\in\Lambda}x_{\alpha}^{-},

que novamente satisfaz (5.69)

Finalmente, mostraremos que o operador integral é linear, não apenas no integrando, mas também na medida com respeito à qual se integra.

Proposição 5.70.

Sejam $\mu_{1}$ e $\mu_{2}$ medidas em $(\Omega,\mathcal{F})$ e $f:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável. Então, $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}(\mu_{1}+\mu_{2})=\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu_{1}+% \int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu_{2}$ .

Demonstração.

Se $f=\mathds{1}_{A}$ para algum $A\in\mathcal{F}$ , ambos os lados se reduzem a $\mu_{1}(A)+\mu_{2}(A)$ e, portanto, vale a identidade. Estendemos a identidade para funções simples não-negativas por linearidade e para funções mensuráveis não-negativas usando o Teorema da Convergência Monótona. ∎

5.5.3 Convergência

Conforme discutido na Seção 5.3, em inúmeras situações queremos tomar um limite dentro da integral. Começamos discutindo alguns casos para ver o que poderia dar errado.

Pensemos a região abaixo do gráfico de uma função real não-negativa como tendo uma “área”, “volume” ou “massa”. Se a função é dada por $f(x)=n\cdot\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n}]}(x)$ , ou por $g(x)=\mathds{1}_{(n,n+1]}(x)$ , essa massa é sempre igual a $1$ e, no entanto, desaparece quando tomamos o limite em $n$ . Podemos dizer que a massa “escapou ao infinito”. No primeiro exemplo, escapou verticalmente e, no segundo, horizontalmente. Os três teoremas de convergência explicam o que pode acontecer com a massa no limite.

O Teorema da Convergência Monótona diz que nada de estranho pode acontecer com uma sequência crescente de funções, mais precisamente que não se pode ganhar massa. O próximo teorema nos diz que para uma sequência de funções mensuráveis não-negativas, até podemos perder massa no limite, mas nunca ganhar.

Teorema 5.71 (Lema de Fatou).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{n})_{n\geqslant 1}$ uma sequência de funções mensuráveis de $\Omega$ em $[0,+\infty]$ . Então,

\int_{\Omega}(\liminf_{n\to\infty}f_{n}(\omega))\,\mu(\mathrm{d}\omega)% \leqslant\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}(\omega)\,\mu(\mathrm{d}\omega).

Demonstração.

Tomando $g_{n}(\omega)=\inf_{k\geqslant n}f_{k}(\omega),$ temos que

0\leqslant g_{n}(\omega)\uparrow\liminf_{n\to\infty}f_{n}(\omega).

Usando o Teorema da Convergência Monótona, como $g_{n}(\omega)\leqslant f_{n}(\omega),$

\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}(\omega)\mu(\mathrm{d}% \omega)\geqslant\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}g_{n}(\omega)\mu(\mathrm{d}% \omega)=

\displaystyle\qquad\qquad=\int_{\Omega}\lim_{n}g_{n}(\omega)\mu(\mathrm{d}% \omega)=\int_{\Omega}(\liminf_{n\to\infty}f_{n}(\omega))\mu(\mathrm{d}\omega),

o que conclui a prova. ∎

A possibilidade de desigualdade estrita no Lema de Fatou é ilustrada pelos exemplos $n\cdot\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n}]}$ e $\mathds{1}_{(n,n+1]}$ . Um exemplo extremo é $\mathds{1}_{[n,+\infty)}$ . Nesses exemplos, a massa escapou para o infinito. Outra situação que leva à desigualdade estrita é quando a massa fica zanzando, como, por exemplo, a sequência $(f_{n})_{n}$ dada por $f_{n}=\mathds{1}_{(0,1]}$ para $n$ par e $f_{n}=\mathds{1}_{(1,2]}$ para $n$ ímpar.

Observe que o Lema de Fatou quase não tem hipóteses. Vimos algo análogo em (5.48), porém optamos por não lhe dar nome, porque, naquele contexto, vinha com a hipótese (desnecessária) de que $\liminf_{n}f_{n}$ fosse finito.

O Teorema da Convergência Dominada diz que, se os gráficos das funções da sequência $(f_{n})_{n}$ estão confinados em uma região de massa finita, então não pode haver perda ou ganho de massa no limite. Isso porque o gráfico de $f_{n}$ divide esta região de massa finita em duas partes e, caso houvesse perda de massa em uma das partes, necessariamente haveria ganho na outra.

Teorema 5.72 (Teorema da Convergência Dominada).

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $(f_{n})_{n\geqslant 1}$ uma sequência de funções mensuráveis de $\Omega$ em $[-\infty,+\infty]$ , tais que $f_{n}(\omega)\to f(\omega)$ quando $n\to\infty$ para $\mu$ -quase todo $\omega$ . Suponha que existe $g:\Omega\to[0,+\infty]$ integrável, tal que $|f_{n}|\leqslant g$ q.t.p. para todo $n\geqslant 1$ . Então, $f$ é integrável e

\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega)=\int_{\Omega}% \big{(}\lim_{n\to\infty}f_{n}(\omega)\big{)}\mu(\mathrm{d}\omega).

Demonstração.

Modificando $f_{n},f,g$ num conjunto de medida zero, podemos supor que $f_{n}(\omega)\to f(\omega)$ e $|f_{n}|\leqslant g<\infty$ para todo $\omega$ . Como $|f|=\lim_{n}|f_{n}|\leqslant|g|$ , temos que $f$ é integrável.

Agora observe que $f_{n}+g\geqslant 0$ para todo $n$ . Aplicando o Lema de Fatou, obtemos $\int_{\Omega}(f+g)\,\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}(f_% {n}+g)\,\mathrm{d}\mu$ e, como $g$ é integrável, $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,% \mathrm{d}\mu.$ De forma análoga, $-f_{n}+g\geqslant 0$ para todo $n$ , o que nos dá $\int_{\Omega}(-f+g)\,\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\to\infty}\int_{\Omega}(-% f_{n}+g)\,\mathrm{d}\mu$ e portanto $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu\geqslant\limsup_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,% \mathrm{d}\mu.$ Dessas duas desigualdades, obtemos $\lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}f_{n}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu,$ o que conclui a prova. ∎

Mencionamos brevemente uma importante aplicação do Teorema da Convergência Dominada, que permite derivar dentro da integral. O enunciado e prova são análogos aos do Teorema 5.49 e serão omitidos.

5.5.4 Integral de Riemann e integral imprópria

Estamos introduzindo uma nova definição de integral. Por certo, isso gera inquietudes mais que legítimas. Nas definições e teoremas envolvendo variáveis aleatórias absolutamente contínuas, podemos substituir a integral de Riemann pela de Lebesgue? Em outras palavras, esta generaliza aquela? Neste caso, teria esta alguma vantagem? E na direção oposta, teria aquela alguma vantagem sobre esta? Para a penúltima pergunta, basta mencionar os Teoremas da Convergência Monótona e da Convergência Dominada.

Teorema 5.73.

Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função mensurável. Se $f$ é Riemann-integrável, então também é Lebesgue-integrável e os valores das integrais coincidem, isto é,

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{[a,b]}f\,\mathrm{d}m,

onde $m$ é a medida de Lebesgue definida na Seção 1.4.2.

Demonstração.

Se a $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=L\in\mathbb{R}$ , então para todo $\varepsilon>0$ , existem funções-degrau $g$ e $h$ tais que $g\leqslant f\leqslant h$ e $L-\varepsilon<\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x\leqslant\int_{a}^{b}h(x)\,\mathrm{% d}x<L+\varepsilon$ . Logo, $g$ e $h$ (e, portanto, $f$ ) são limitadas e, por conseguinte, $\int_{[a,b]}f\,\mathrm{d}m$ está definida. Por outro lado, como $g$ e $h$ são funções-degrau, sua integral de Riemann e de Lebesgue coincidem, logo $L-\varepsilon<\int_{[a,b]}f\,\mathrm{d}m<L+\varepsilon$ . Como isso vale para todo $\varepsilon>0$ , concluímos que $\int_{[a,b]}f\,\mathrm{d}m=L$ . ∎

A recíproca é falsa. Uma função pode ser Lebesgue-integrável sem ser Riemann-integrável. Caso $f$ não seja limitada, não será Riemann-integrável, mesmo que seja contínua em quase todo ponto.

Exemplo 5.74.

Um exemplo simples é $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dada por $f=\mathds{1}_{\mathbb{Q}}$ . Como $m(\mathbb{Q})=0$ , temos $\int_{[0,1]}f\,\mathrm{d}m=0$ , mas esta função não é Riemann-integrável. Para verificarmos este fato, considere qualquer partição de $[0,1]$ em finitos intervalos não-degenerados, e observe que todos os intervalos conterão números racionais e também irracionais, pois tanto os números racionais quanto os irracionais são densos na reta. Logo, toda função-degrau $g\leqslant f$ deve satisfazer $g\leqslant 0$ q.t.p, e toda função-degrau $h\geqslant f$ deve satisfazer $h\geqslant 1$ q.t.p. Portanto, $\int g\,\mathrm{d}x\leqslant 0$ e $\int h\,\mathrm{d}x\geqslant 1$ e tomando $\varepsilon=\frac{1}{3}$ vemos que não pode haver um número $L$ tal que $L-\varepsilon<\int g\,\mathrm{d}x\leqslant\int h\,\mathrm{d}x<L+\varepsilon$ . ∎

Daqui em diante, usaremos a notação

\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\text{ \ e \ }\int_{A}f(x)\,\mathrm{d}x

para denotar a integral de $f$ com respeito à medida de Lebesgue no intervalo $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ ou no conjunto $A\in\mathcal{B}$ , respectivamente.

O Teorema 5.73 considera apenas funções mensuráveis. Tecnicamente, uma função pode ser Riemann-integrável sem ser mensurável (com respeito à $\sigma$ -álgebra de Borel). Entretanto, se $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é Riemann-integrável, seguindo a prova desse teorema, pode-se mostrar que existe uma função mensurável $g$ e um conjunto $N\subseteq[a,b]$ tais que $m(N)=0$ e $f=g$ em $[a,b]\setminus N$ . Nesse caso, as integrais de $f$ e $g$ coincidem em qualquer subintervalo de $[a,b]$ .

Mencionamos brevemente a integral imprópria. Como a integral de Riemann é definida apenas para intervalos finitos, a teoria baseada nela trata as integrais em intervalos infinitos como um limite. Existem funções $f$ que não são Lebesgue-integráveis e para as quais o limite

\lim_{z\to+\infty}\int_{0}^{z}f(x)\,\mathrm{d}x

existe e é finito. Ou seja, há funções para as quais a integral imprópria está definida mas integral de Lebesgue não está. Porém, a exclusão dessas funções torna a teoria de integração de Lebesgue muito mais robusta. Quase todos os teoremas deste capítulo deixam de valer se atribuímos significado de integral ao limite acima, incluindo a mudança de variável, mudança de medida, cálculo da esperança e teoremas de convergência. Se usássemos esse limite para calcular a esperança de uma variável aleatória, a Lei dos Grandes Números não seria válida.

Pode-se fazer discussão semelhante com respeito a séries condicionalmente convergentes. Por (5.69), temos

\sum_{k\in\mathbb{N}}x_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}x_{% k}^{-},

desde que uma das duas séries do lado direito convirja, e, neste caso,

\sum_{k\in\mathbb{N}}x_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}x_{% k}^{-}=\lim_{k}\sum_{j=1}^{k}x_{j}^{+}-\lim_{k}\sum_{j=1}^{k}x_{j}^{-}=\lim_{k% }\sum_{j=1}^{k}x_{j}=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}.

Caso ambas as séries divirjam, dizemos que $\sum_{k\in\mathbb{N}}x_{k}$ não está definida. Com essa definição, a soma $\sum_{k\in\mathbb{N}}(-1)^{k}\,\frac{1}{k}$ não está definida, da mesma forma que $\int_{\mathbb{R}}x^{-1}\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits x\,\mathrm{d}x$ não está definida. Note que há uma diferença entre “ $\sum_{k\in\mathbb{N}}$ ”, definida em (5.69), e “ $\sum_{k=1}^{\infty}$ ”, definida no Apêndice A.1; pois a série harmônica alternada $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{k}$ converge.

5.5.5 Densidade de medidas

Nesta seção vamos explorar o conceito de densidade e como se aplica a variáveis aleatórias absolutamente contínuas.

Proposição 5.75.

Seja $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ um espaço de medida e $f:\Omega\to[0,+\infty]$ uma função mensurável. Então,

(5.76) (5.76)

\nu(A)=\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu,\quad\forall A\in\mathcal{F},

define uma outra medida em $(\Omega,\mathcal{F})$ .

A demonstração fica como exercício. Quando $\nu$ é definida a partir de $\mu$ desta maneira, costuma-se denotar $\nu=f\mu$ e $\mathrm{d}\nu=f\,\mathrm{d}\mu$ .

Exemplo 5.77.

Seja $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $\mathbb{P}(A)=\frac{\#A}{6}$ . Considere a função $g(n)=\frac{2}{7}n$ . Pela Proposição 5.75, a função $\mathbf{P}$ dada por $\mathbf{P}(A)=\int_{\Omega}(g\mathds{1}_{A})\mathrm{d}\mathbb{P}$ define uma nova medida em $(\Omega,\mathcal{F})$ . De fato, isso define uma medida de probabilidade (exercício!). ∎

Quando duas medidas $\mu$ e $\nu$ são relacionadas por (5.76), chamamos a função $f$ de derivada de Radon-Nikodým de $\nu$ com respeito a $\mu$ , denotada por $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ , de forma que $\nu(A)=\int_{A}\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega)$ . Neste caso, dizemos que a derivada $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ existe. A proposição abaixo diz que a derivada de Radon-Nikodým é essencialmente única.

Proposição 5.78.

Sejam $\mu$ uma medida $\sigma$ -finita e $f,g:\Omega\to[-\infty,+\infty]$ duas funções mensuráveis. Se $\int_{\Omega}f\,\mathrm{d}\mu$ e $\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\mu$ estão definidas, e $\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{A}g\,\mathrm{d}\mu$ para todo $A\in\mathcal{F}$ , então $f=g$ q.t.p.

Demonstração.

Supomos inicialmente que $f$ e $g$ são não-negativas. Tome $B_{n}\uparrow\Omega$ tais que $\mu(B_{n})<\infty$ para todo $n$ . Defina $A_{n}=\{\omega\in B_{n}:0\leqslant g(\omega)\leqslant n,g(\omega)<f(\omega)\}$ . Como $\mu(A_{n})\leqslant\mu(B_{n})<\infty$ , temos que $g\mathds{1}_{A_{n}}$ é finita e integrável. Logo, $\int_{A_{n}}(f-g)\mathrm{d}\mu=\int_{A_{n}}f\mathrm{d}\mu-\int_{A_{n}}g\mathrm% {d}\mu=0$ . Pelo Exercício 5.63, $\mu(A_{n})=0.$ Mas $A_{n}\uparrow\{f>g\}$ , logo $\mu(f>g)=0$ . Um argumento idêntico mostra que $\mu(f<g)=0$ , concluindo a prova.

Consideramos agora o caso geral. Como as integrais de $f$ e $g$ estão definidas e coincidem, podemos supor, sem perda de generalidade, que $f^{-}$ e $g^{-}$ são integráveis. Logo, $f^{-}$ e $g^{-}$ são finitas para $\mu$ -quase todo $\omega$ . Modificando $f$ e $g$ em um conjunto de medida nula, podemos supor também que $f^{-}$ e $g^{-}$ são finitas para todo $\omega$ . Aplicando o caso anterior às funções $(f+f^{-}+g^{-})$ e $(g+f^{-}+g^{-})$ , podemos concluir que essas duas funções coincidem q.t.p. e, portanto, $f=g$ q.t.p. ∎

Observação 5.79.

A proposição é falsa sem a hipótese de que $\mu$ é $\sigma$ -finita. Tomando $\Omega=\{1\}$ , $\mu(\{1\})=+\infty$ , $f(1)=1$ e $g(1)=2$ , podemos ver que $\int_{A}f\,\mathrm{d}\mu=\int_{A}g\,\mathrm{d}\mu$ para todo $A\subseteq\Omega$ , apesar de que $f\neq g$ em todo ponto. ∎

Teorema 5.80 (Mudança de medida).

Sejam $\nu,\mu$ medidas em um espaço mensurável $(\Omega,\mathcal{F})$ tais que $\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}$ existe, e seja $g:\Omega\to[0,+\infty]$ mensurável. Então,

\int_{\Omega}g\,\mathrm{d}\nu=\int_{\Omega}g(\omega)\tfrac{\mathrm{d}\nu}{% \mathrm{d}\mu}(\omega)\,\mu(\mathrm{d}\omega).

Demonstração.

Suponha que $g=\mathds{1}_{A}$ para algum $A\in\mathcal{F}$ . Neste caso, temos

\int_{\Omega}{\mathds{1}}_{A}\,\mathrm{d}\nu=\nu(A)=\int_{A}\tfrac{\mathrm{d}% \nu}{\mathrm{d}\mu}\,\mathrm{d}\mu=\int_{\Omega}\mathds{1}_{A}\cdot\tfrac{% \mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}\,\mathrm{d}\mu,

provando a identidade desejada. Por linearidade, a proposição também vale quando $g$ é uma função simples não-negativa. Pelo Teorema da Convergência Monótona, vale para o caso geral. ∎

Definição 5.81 (Variáveis aleatórias absolutamente contínuas).

Dizemos que uma variável aleatória $X$ em um espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ é uma variável aleatória absolutamente contínua se $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{X}}{\mathrm{d}m}$ existe. Neste caso, $f_{X}=\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{X}}{\mathrm{d}m}$ é uma densidade de $X$ . Veja que $f_{X}$ é determinada por $X$ e $\mathbb{P}$ , mas este último é omitido na notação.

Pela Proposição 5.78, a densidade de uma variável aleatória absolutamente contínua é única no sentido de que qualquer outra é igual em quase todo ponto. Repare que na Seção 3.3 não demos uma definição geral de distribuição absolutamente contínua, pois nem sempre existe uma densidade Riemann-integrável. Por outro lado, tomando a integral em (5.76) como de Lebesgue, a definição acima é a mais geral possível, como veremos na Seção 11.5.

Recordemos que uma variável aleatória é discreta se existe uma função não-negativa $p_{X}$ tal que $\mathbb{P}_{X}(A)=\sum_{x}p_{X}(x)\delta_{x}(A)$ para todo $A\in\mathcal{B}$ . Isso é o mesmo que $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{X}}{\mathrm{d}\nu}=p_{X}$ , onde $\nu$ é a medida de contagem em $\mathbb{R}$ . Mais geralmente, $X$ é mista com componentes discreta e absolutamente contínua, como definido na Seção 3.5, se $\mathbb{P}_{X}=\mu_{d}+\mu_{c}$ , onde $\frac{\mathrm{d}\mu_{d}}{\mathrm{d}\nu}=p_{X}$ e $\frac{\mathrm{d}\mu_{c}}{\mathrm{d}m}=f_{X}$ .

Teorema 5.82 (Esperança de funções de variáveis mistas).

Seja ${X}$ uma variável aleatória mista com componentes discreta e absolutamente contínua e seja $g:\mathbb{R}\to[0,+\infty]$ mensurável. Então,

\mathbb{E}[g(X)]=\sum_{{x}}g({x})\cdot p_{{X}}({x})+\int_{\mathbb{R}}g(x)f_{X}% (x)\,\mathrm{d}x.

Demonstração.

Fazemos uma mudança de variável, aplicamos a Proposição 5.70, fazemos uma mudança de medida, e depois aplicamos (5.69), obtendo

$\displaystyle\mathbb{E}[g(X)]$	$\displaystyle=\int_{\Omega}g(X)\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int_{\mathbb{R}}g\,% \mathrm{d}\mathbb{P}_{X}=\int_{\mathbb{R}}g\,\mathrm{d}\mu_{d}+\int_{\mathbb{R% }}g\,\mathrm{d}\mu_{c}$
	$\displaystyle=\int_{\mathbb{R}}g\,p_{X}\,\mathrm{d}\nu+\int_{\mathbb{R}}g\,f_{% X}\,\mathrm{d}m=\sum_{x}g(x)\cdot p_{X}(x)+\int_{\mathbb{R}}g\,f_{X}\,\mathrm{% d}m,$

o que prova o teorema. ∎

Observe que o Teorema 5.39 corresponde a caso particular em que $p_{X}=0$ . Já o Teorema 5.28 segue do Teorema 5.39 tomando-se $g(x)=x^{+}$ e $g(x)=x^{-}$ .

5.5.6 Espaços produto e integrais iteradas

Veremos agora condições sob as quais uma função $f(x,y)$ de duas variáveis $x$ e $y$ pode ser integrada com respeito a ambas variáveis e se o resultado independe da ordem de integração. Para isso, precisamos primeiro formalizar o espaço em que estará definida uma função de duas variáveis.

Definição 5.83 (

\sigma

-álgebra produto).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1})$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2})$ dois espaços mensuráveis. Definimos a $\sigma$ -álgebra produto de $\mathcal{F}_{1}$ e $\mathcal{F}_{2}$ , denotada por $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ , como sendo a $\sigma$ -álgebra gerada pela classe⁹⁹ 9 Aqui há um pequeno abuso de notação: $\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ não é exatamente um produto cartesiano, pois é uma coleção de retângulos $A\times B$ e não uma coleção de pares $(A,B)$ .

\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}=\{A_{1}\times A_{2}\subseteq\Omega_{1}% \times\Omega_{2}:A_{1}\in\mathcal{F}_{1},\ A_{2}\in\mathcal{F}_{2}\}

no espaço amostral $\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ .

Em outras palavras, $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ é a $\sigma$ -álgebra gerada pela coleção de todos os “retângulos” cujos “lados” estão em $\mathcal{F}_{1}$ e $\mathcal{F}_{2}$ . Note que $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ é muito maior do que o $\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ . Por exemplo, em $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , observamos que o círculo

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}<1\},

está em $\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , pois é união enumerável de retângulos, mas não está em $\mathcal{B}(\mathbb{R})\times\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Literalmente, o círculo não é um retângulo!

O seguinte teorema garante a existência de uma medida no espaço produto que fatora para retângulos. A prova será dada no Apêndice D.4.

Teorema 5.84 (Medida produto).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu_{1})$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\mu_{2})$ dois espaços de medida $\sigma$ -finita. Então, existe uma única medida $\nu$ na $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ tal que

\nu(A_{1}\times A_{2})=\mu_{1}(A_{1})\cdot\mu_{2}(A_{2})

para todos $A_{1}\in\mathcal{F}_{1},A_{2}\in\mathcal{F}_{2}$ . Essa medida $\nu$ , denotada por $\mu_{1}\otimes\mu_{2}$ é chamada medida produto de $\mu_{1}$ e $\mu_{2}$ .

Para que uma integral iterada faça sentido, ao integrar com respeito a uma das variáveis, o resultado deveria ser uma função mensurável da outra variável. O lema abaixo também será provado no Apêndice D.4.

Lema 5.85.

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\nu)$ espaços de medida $\sigma$ -finita. Seja $g:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to[0,+\infty]$ uma função mensurável com respeito à $\sigma$ -álgebra produto $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ . Para todo $x\in\Omega_{1}$ fixo, a função $y\mapsto g(x,y)$ é $\mathcal{F}_{2}$ -mensurável. Ademais, a integral $\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ define uma função $\mathcal{F}_{1}$ -mensurável de $x$ . Analogamente, para todo $y\in\Omega_{2}$ fixo, a função $x\mapsto g(x,y)$ é $\mathcal{F}_{1}$ -mensurável e a integral $\int_{\Omega_{1}}g(x,y)\mu(\mathrm{d}x)$ define uma função $\mathcal{F}_{2}$ -mensurável de $y$ .

Sabendo que a integral com respeito a uma das variáveis resulta em uma função mensurável da outra variável, passamos a estudar integrais iteradas.

Teorema 5.86 (Teorema de Tonelli).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\nu)$ espaços de medida $\sigma$ -finita, e $g:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to[0,+\infty]$ uma função mensurável. Então,

\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)\Big{)}\mu(% \mathrm{d}x)=\int_{\Omega_{2}}\Big{(}\int_{\Omega_{1}}g(x,y)\,\mu(\mathrm{d}x)% \Big{)}\nu(\mathrm{d}y)

e essas integrais são iguais a $\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)$ .

A prova será dada no Apêndice D.4. Uma aplicação do Teorema de Tonelli é uma prova alternativa de que a densidade de uma variável aleatória normal é, de fato, uma função de densidade.

Exemplo 5.87 (Densidade da normal).

Vamos calcular

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-u^{2}}{\mathrm{d}}u\right)e^{-y^% {2}}{\mathrm{d}}y.

Com uma mudança de variáveis reescrevemos essa integral como

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}ye^{-x^{2}y^{2}}{\mathrm{d}}x\right)% e^{-y^{2}}{\mathrm{d}}y,

que, pelo Teorema de Tonelli, é igual a

\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{0}^{+\infty}ye^{-(1+x^{2})y^{2}}{\mathrm{d}}y% \right){\mathrm{d}}x,

pois os integrandos são não-negativos. Como a integral iterada acima é igual a $\frac{\pi}{4}$ , concluímos que

\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}{\mathrm{d}}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.

Com isso, provamos que

\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm{d}x=1

sem ter que usar coordenadas polares. ∎

A teoria acima trata sempre de funções não-negativas. Se consideramos uma função mensurável qualquer, ainda podemos aplicar o Lema 5.85 e o Teorema de Tonelli às suas partes positiva e negativa. Entretanto, poderá haver valores de $x$ para os quais a integral em $y$ não estará definida e vice-versa. Isso será, de fato, um problema, a não ser que integral interna esteja definida para quase todo valor da variável externa.

Teorema 5.88 (Teorema de Fubini).

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\nu)$ espaços de medida $\sigma$ -finita e $f:\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to[-\infty,+\infty]$ uma função mensurável. Se

\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}|f(x,y)|\,\nu(\mathrm{d}y)\Big{)}\mu(% \mathrm{d}x)<\infty,

então: $\int_{\Omega_{2}}f(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)$ está definida para $\mu$ -quase todo $x$ , $\int_{\Omega_{1}}f(x,y)\,\mu(\mathrm{d}x)$ está definida para $\nu$ -quase todo $y$ , vale a igualdade

\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)\Big{)}\mu(% \mathrm{d}x)=\int_{\Omega_{2}}\Big{(}\int_{\Omega_{1}}f(x,y)\,\mu(\mathrm{d}x)% \Big{)}\nu(\mathrm{d}y),

e essas integrais são iguais a $\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)$ . Nas duas integrais iteradas logo acima, podemos substituir o valor da integral interna por zero no conjunto (de medida nula) de pontos para os quais ela não está definida.

A prova será dada no Apêndice D.4. Em sua versão mais corrente, o enunciado do Teorema de Fubini tem como hipótese que $f$ seja integrável com respeito a $\mu\otimes\nu$ , que no enunciado acima foi substituída por outra mais conveniente graças ao Teorema de Tonelli. Vejamos um exemplo de integrais iteradas que não comutam, e o que nos diz o Teorema de Fubini nesse caso.

Exemplo 5.89.

Seja $f:(0,1)\times(0,1)\to\mathbb{R}$ definida por

f(x,y)=\frac{x-y}{(x+y)^{3}}.

Fazendo $u=x+y$ ,

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_{% 0}^{1}\int_{y}^{1+y}\frac{u-2y}{u^{3}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}y=-\frac{1}{2}.

Por outro lado, também substituindo $u=x+y$ ,

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int_{% 0}^{1}\int_{x}^{1+x}\frac{2x-u}{u^{3}}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.

Podemos assim concluir que

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|f(x,y)|\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=+\infty,

pois caso contrário teríamos $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\int_{0}^% {1}f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ . ∎

Como toda soma é uma integral de Lebesgue com respeito à medida de contagem, podemos obter propriedades muito úteis de somas infinitas iteradas. Por exemplo, o Teorema C.2 segue direto do Teorema de Tonelli.

Teorema 5.90 (Teorema de Fubini para somas).

Seja $(x_{m,n})_{m,n\in\mathbb{N}}$ uma sequência de números reais estendidos duplamente indexada por $m$ e $n$ .

\text{Se }\quad\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{m,n}|<\infty,\quad% \text{ ent\~{a}o }\quad\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}x_{m,n}=\sum_{n=1% }^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}x_{m,n}

estão definidas e coincidem.

Demonstração.

Segue direto do Teorema de Fubini e (5.69). ∎

Vejamos um exemplo de somas iteradas que não comutam.

Exemplo 5.91.

Considere a sequência duplamente indexada

x_{m,n}=\begin{array}[]{|rrrrrr}\hline\cr 1&-1&0&0&0&\dots\\ 0&1&-1&0&0&\dots\\ 0&0&1&-1&0&\dots\\ 0&0&0&1&-1&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots\end{array}

que não é somável. Veja que somando-se colunas e depois linhas obtém-se $1$ mas somando-se linhas e depois colunas obtém-se $0$ . ∎

Terminamos este capítulo com uma observação sobre esperança de funções de vetores aleatórios com densidade conjunta.

Observação 5.92 (Vetores aleatórios com densidade conjunta).

A medida de Lebesgue em $\mathbb{R}^{n}$ , denotada ${\boldsymbol{m}}$ , é definida recursivamente como ${\boldsymbol{m}}=m\otimes\dots\otimes m$ . Seja $h:\mathbb{R}^{n}\to[0,+\infty]$ mensurável. Como $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\dots\otimes\mathcal% {B}(\mathbb{R})$ ,¹⁰¹⁰ 10 O produto de $n$ espaços de medida pode ser definido recursivamente, veja o Apêndice D.4 para uma descrição desse argumento e para a prova de que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\dots\otimes\mathcal% {B}(\mathbb{R})$ . concluímos que $h$ é mensurável com respeito à $\sigma$ -álgebra produto. Usando o Teorema de Tonelli recursivamente, $n-1$ vezes, obtemos

(5.93) (5.93)

\int_{\mathbb{R}^{n}}h\,\mathrm{d}{\boldsymbol{m}}=\int_{\mathbb{R}}\cdots\int% _{\mathbb{R}}h(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{n}\cdots\mathrm{d}x_{1}.

Munidos da identidade acima, concluímos que a definição de densidade conjunta dada na Seção 4.2 diz simplesmente que

\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B)=\int_{B}f_{{\boldsymbol{X}}}\,\mathrm{d}{% \boldsymbol{m}}

para todo paralelepípedo $B\subseteq\mathbb{R}^{n}$ , o que implica a mesma identidade para todo boreliano $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ usando o Teorema 3.37 (unicidade de medidas). Ou seja, ${{\boldsymbol{X}}}$ ter densidade conjunta $f_{{\boldsymbol{X}}}$ é o mesmo que $\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}}{\mathrm{d}{\boldsymbol{m}}}=f_{% {\boldsymbol{X}}}$ .

Podemos agora justificar a fórmula (5.43). Para isso, observamos que

$\displaystyle\mathbb{E}[g({{\boldsymbol{X}}})]$	$\displaystyle=\int_{\Omega}g({{\boldsymbol{X}}}(\omega))\,\mathbb{P}(\mathrm{d% }\omega)$
	$\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{n}}g({{\boldsymbol{x}}})\,\mathbb{P}_{{% \boldsymbol{X}}}(\mathrm{d}{{\boldsymbol{x}}})$
	$\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{n}}g({{\boldsymbol{x}}})f_{{\boldsymbol{X}}}({% {\boldsymbol{x}}})\,{\boldsymbol{m}}(\mathrm{d}{{\boldsymbol{x}}})$
	$\displaystyle=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}g(x_{1},% \dots,x_{n})\,f_{{\boldsymbol{X}}}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{n}\cdots% \mathrm{d}x_{1}$

para qualquer $g:\mathbb{R}^{n}\to[0,+\infty)$ mensurável. Em particular, pelo Lema 3.43, vale para $g$ contínua e não-negativa. Nas igualdades acima, usamos mudança de variável, mudança de medida e a fórmula (5.93), nesta ordem. ∎