D.4 Teoremas de Fubini e de Tonelli

Nesta seção, vamos provar o Teorema 5.84 (existência da medida produto), o Lema 5.85, e os Teoremas de Fubini e de Tonelli.

Ao final da seção, vamos estender a teoria para o produto de $n$ espaços e, com isso, justificar o Teorema 4.5, a Proposição 4.10 e a Observação 5.92.

Observe que o Lema 5.85 e o Teorema de Tonelli valem trivialmente se $g$ é a função indicadora de algum retângulo $A\times B$ , pois, neste caso, $g(x,y)=\mathds{1}_{A}(x)\cdot\mathds{1}_{B}(y)$ é mensurável em cada variável, $\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\nu(\mathrm{d}y)=\nu(B)\cdot\mathds{1}_{A}(x)$ é mensurável em $x$ , $\int_{\Omega_{1}}g(x,y)\mu(\mathrm{d}x)=\mu(A)\cdot\mathds{1}_{B}(y)$ é mensurável em $y$ , e $\int_{\Omega_{1}}(\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\nu(\mathrm{d}y))\mu(\mathrm{d}x)=\mu% (A)\cdot\nu(B)=\int_{\Omega_{2}}(\int_{\Omega_{1}}g(x,y)\mu(\mathrm{d}x))\nu(% \mathrm{d}y)$ .

Lema D.11.

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\nu)$ espaços de medida $\sigma$ -finita. Seja $E\in\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ e defina $g(x,y)=\mathds{1}_{E}(x,y)$ . Para todo $x\in\Omega_{1}$ fixo, $g(x,y)$ é uma função mensurável de $y$ . Ademais, $\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ define uma função mensurável de $x$ .

Demonstração.

Para a primeira afirmação, basta observar que a classe de conjuntos $E$ com essa propriedade forma uma $\sigma$ -álgebra, que, pela observação acima, contém $\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ e, portanto, contém $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ .

Passamos à prova da segunda afirmação. Suponhamos inicialmente que $\nu$ seja uma medida finita. Seja $\mathcal{D}$ a classe dada pelos conjuntos $E$ para os quais $\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}_{E}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ define uma função mensurável de $x$ . Pela observação feita no início desta seção, $\mathcal{D}$ contém o $\pi$ -sistema $\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ , que gera $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ . Usando o Teorema $\pi\text{-}\lambda$ , basta verificar que $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema. Para $E=\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ , temos $g(x,y)=1$ para todo $(x,y)\in\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ e a propriedade vale trivialmente. Se $E\in\mathcal{D}$ , então $\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}_{E^{c}}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)=\nu(\Omega_{2})-\int_% {\Omega_{2}}\mathds{1}_{E}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ é mensurável, logo $E^{c}\in\mathcal{D}$ . Sejam $\{E_{n}\}_{n}\subseteq\mathcal{D}$ disjuntos. Pelo Teorema da Convergência Monótona,

\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}_{\cup_{n}E_{n}}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)=\int_{\Omega_% {2}}\sum_{n}\mathds{1}_{E_{n}}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)=\sum_{n}\int_{\Omega_{2}}% \mathds{1}_{E_{n}}(x,y)\nu(\mathrm{d}y),

que é mensurável pelo Lema 3.50. Logo, $\cup_{n}E_{n}\in\mathcal{D}$ e, portanto, $\mathcal{D}$ é um $\lambda$ -sistema, o que prova o lema no caso em que $\nu$ é finita.

Supondo agora que $\nu$ é $\sigma$ -finita, tome $B_{n}\uparrow\Omega_{2}$ tais que $\nu(B_{n})<\infty$ para todo $n$ , e defina $\nu_{n}(B)=\nu(B\cap B_{n})$ para todos $B\in\mathcal{F}_{2}$ e $n\in\mathbb{N}$ . Pelo Teorema da Convergência Monótona,

\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}_{E}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)=\lim_{n}\int_{\Omega_{2}}% \mathds{1}_{E}(x,y)\mathds{1}_{B_{n}}(y)\nu(\mathrm{d}y)=\lim_{n}\int_{\Omega_% {2}}\mathds{1}_{E}(x,y)\nu_{n}(\mathrm{d}y),

que, pelo caso anterior combinado com o Lema 3.50, é uma função mensurável de $x$ . ∎

Lema D.12.

Sejam $(\Omega_{1},\mathcal{F}_{1},\mu)$ e $(\Omega_{2},\mathcal{F}_{2},\nu)$ dois espaços de medida $\sigma$ -finita. Então, existe uma única medida $\mu\otimes\nu$ na $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ tal que $(\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$ para todos $A\in\mathcal{F}_{1}$ e $B\in\mathcal{F}_{2}$ . Essa medida é dada por $(\mu\otimes\nu)(E)=\int_{\Omega_{1}}(\int_{\Omega_{2}}\mathds{1}_{E}(x,y)\nu(% \mathrm{d}y))\mu(\mathrm{d}x)$ , para todo $E\in\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ .

Demonstração.

A integral iterada está bem definida pelo Lema D.11, é uma função $\sigma$ -aditiva de $E$ pelo Teorema da Convergência Monótona, e vale zero quando $E=\emptyset$ ; portanto, define uma medida. Esta medida atribui o valor correto aos retângulos devido à observação do início desta seção. Isso prova a existência. Para a unicidade, usaremos novamente que $\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ é um $\pi$ -sistema que gera $\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ . Tomando $A_{n}\uparrow\Omega_{1}$ com $\mu(A_{n})<\infty$ para todo $n$ , e $B_{n}\uparrow\Omega_{2}$ com $\nu(B_{n})<\infty$ para todo $n$ (o que é possível, pois $\mu$ e $\nu$ são $\sigma$ -finitas), temos que $A_{n}\times B_{n}\in\mathcal{F}_{1}\times\mathcal{F}_{2}$ satisfaz $A_{n}\times B_{n}\uparrow\Omega_{1}\times\Omega_{2}$ e $(\mu\otimes\nu)(A_{n}\times B_{n})<\infty$ para todo $n$ . Sendo assim, podemos aplicar o Teorema 3.37 (unicidade de medidas), o que conclui esta demonstração. ∎

Observe que o Teorema 5.84 segue do lema acima.

Demonstração do Lema 5.85.

Se $g=\mathds{1}_{E}$ para algum $E\in\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ , basta aplicar o Lema D.11 diretamente e também com os papéis de $x$ e $y$ trocados, provando o lema para o caso de funções indicadoras. Estendemos a propriedade para funções simples não-negativas usando a linearidade da integral e o Lema 3.49. Estendemos para o caso geral usando o Teorema da Convergência Monótona e o Lema 3.50. ∎

Demonstração do Teorema de Tonelli.

Suponha inicialmente que $g=\mathds{1}_{E}$ para algum $E\in\mathcal{F}_{1}\otimes\mathcal{F}_{2}$ . Aplicando o Lema D.12, temos $\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)=\int_{\Omega_{1}% }(\int_{\Omega_{2}}g(x,y)\nu(\mathrm{d}y))\mu(\mathrm{d}x)$ . Aplicando o lema com $x$ e $y$ trocados, temos $\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}g\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)=\int_{\Omega_{2}% }(\int_{\Omega_{1}}g(x,y)\mu(\mathrm{d}x))\nu(\mathrm{d}y)$ , o que prova o teorema no caso de funções indicadoras. Estendemos o teorema para uma funções simples não-negativas usando a linearidade das integrais. Finalmente, estendemos o teorema para o caso geral usando o Teorema da Convergência Monótona para cada integral envolvida. ∎

Demonstração do Teorema de Fubini.

Estamos supondo que

\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}|f(x,y)|\nu(\mathrm{d}y)\Big{)}\mu(% \mathrm{d}x)<\infty.

Como $\int_{\Omega_{2}}|f(x,y)|\nu(\mathrm{d}y)$ é $\mu$ -integrável em $x$ , é finito para $\mu$ -quase todo $x\in\Omega_{1}$ . Logo, o conjunto $N$ definido por

N=\Big{\{}x\in\Omega_{1}:\int_{\Omega_{2}}|f(x,y)|\,\nu(\mathrm{d}y)=+\infty% \Big{\}}

satisfaz $\mu(N)=0$ . Portanto, $\int_{\Omega_{2}}f(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)$ está definido para $\mu$ -quase todo $x\in\Omega_{1}$ , pois está definido para todo $x\in N^{c}$ .

Observe que, pelo Lema 5.85, $f^{+}(x,y)$ e $f^{-}(x,y)$ são funções mensuráveis de $y$ para todo $x$ fixo e, ademais, $\int_{\Omega_{2}}f^{+}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ e $\int_{\Omega_{2}}f^{-}(x,y)\nu(\mathrm{d}y)$ são funções mensuráveis de $x$ . Usando que $\mu(N)=0$ , podemos desenvolver

\displaystyle\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)=% \int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f^{+}\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)-\int_{\Omega% _{1}\times\Omega_{2}}f^{-}\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)

\displaystyle=\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f^{+}(x,y)\,\nu(\mathrm% {d}y)\Big{)}\mu(\mathrm{d}x)-\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f^{-}(x,% y)\,\nu(\mathrm{d}y)\Big{)}\mu(\mathrm{d}x)

\displaystyle=\int_{N^{c}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f^{+}(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)% \Big{)}\mu(\mathrm{d}x)-\int_{N^{c}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f^{-}(x,y)\,\nu(% \mathrm{d}y)\Big{)}\mu(\mathrm{d}x)

\displaystyle=\int_{N^{c}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y)\Big% {)}\mu(\mathrm{d}x)

\displaystyle=\int_{\Omega_{1}}\Big{(}\int_{\Omega_{2}}f(x,y)\,\nu(\mathrm{d}y% )\Big{)}\mu(\mathrm{d}x).

A prova de que $\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f\,\mathrm{d}(\mu\otimes\nu)=\int_{\Omega_{2}% }(\int_{\Omega_{1}}f(x,y)\mu(\mathrm{d}x))\nu(\mathrm{d}y)$ é análoga, o que conclui esta demonstração. ∎

Estendemos agora a teoria para o produto de $n$ fatores.

Dados $n$ espaços de medida $\sigma$ -finita $(\Omega_{j},\mathcal{F}_{j},\mu_{j})$ para ${j=1,\dots,n}$ , podemos definir, recursivamente, a $\sigma$ -álgebra produto como

\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n}=(\mathcal{F}_{1}\otimes\dots% \otimes\mathcal{F}_{n-1})\otimes\mathcal{F}_{n}

e a medida produto como

\mu_{1}\otimes\dots\otimes\mu_{n}=(\mu_{1}\otimes\dots\otimes\mu_{n-1})\otimes% \mu_{n}.

Mais abaixo vamos mostrar que

(D.13) (D.13)

\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n}=\sigma(\mathcal{F}_{1}\times% \dots\times\mathcal{F}_{n}).

Como $\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n}$ é um $\pi$ -sistema, podemos concluir que $\mu_{1}\otimes\dots\otimes\mu_{n}$ é a única medida $\nu$ em $(\Omega_{1}\times\dots\times\Omega_{n},\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes% \mathcal{F}_{n})$ tal que

\nu(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\mu_{1}(A_{1})\cdots\mu_{n}(A_{n})

para todos $A_{1}\in\mathcal{F}_{1},\dots,A_{n}\in\mathcal{F}_{n}$ .

Proposição D.14.

A $\sigma$ -álgebra de Borel em $\mathbb{R}^{n}$ , $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ , aquela gerada pela classe dos conjuntos abertos, também é dada por $\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\dots\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Essa $\sigma$ -álgebra também é gerada pelos ortantes fechados, i.e., conjuntos da forma $(-\infty,a_{1}]\times\dots\times(-\infty,a_{n}]$ com $a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}$ .

Dada $\boldsymbol{f}:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ , temos que $\boldsymbol{f}$ é $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ -mensurável se, e somente se, cada coordenada $f_{1},\dots,f_{n}$ for uma função real mensurável; portanto, a fórmula (4.2) está bem definida para todo $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ . Com efeito, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ é gerada por $\mathcal{B}(\mathbb{R})\times\dots\times\mathcal{B}(\mathbb{R})$ e, usando o Lema 3.42, verificamos que a mensurabilidade de $\boldsymbol{f}$ é equivalente à mensurabilidade de todas as suas coordenadas.

Como os ortantes fechados formam um $\pi$ -sistema que gera $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ e que contém a sequência $(-\infty,k]^{n}\uparrow\mathbb{R}^{n}$ , podemos usar o Teorema 3.37 (unicidade de medidas) para concluir que $F_{{\boldsymbol{X}}}=F_{{\boldsymbol{Y}}}$ implica $\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}=\mathbb{P}_{{\boldsymbol{Y}}}$ , provando o Teorema 4.5. Da mesma forma, a condição $F_{{\boldsymbol{X}}}({\boldsymbol{x}})=F_{X_{1}}(x_{1})\dots F_{X_{n}}(x_{n})$ para todo ${{\boldsymbol{x}}}\in\mathbb{R}^{n}$ significa que $\mathbb{P}_{{\boldsymbol{X}}}(B)=(\mathbb{P}_{X_{1}}\otimes\dots\otimes\mathbb% {P}_{X_{n}})(B)$ para todo ortante fechado $B$ , o que implica (pelo Teorema 3.37) que

\mathbb{P}_{{{\boldsymbol{X}}}}=\mathbb{P}_{X_{1}}\otimes\dots\otimes\mathbb{P% }_{X_{n}},

o que, por sua vez, implica que $X_{1},\dots,X_{n}$ são independentes. Isso prova a Proposição 4.10.

Como tanto a $\sigma$ -álgebra produto quanto a medida produto foram definidas recursivamente, o uso recursivo do Teorema de Tonelli, feito na Observação 5.92, está bem justificado, assim como a identidade $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\dots\otimes\mathcal% {B}(\mathbb{R})$ , diretamente pela a proposição acima.

Para provar (D.13) e a Proposição D.14, usaremos o seguinte fato, cuja prova fica como exercício: dados dois conjuntos não-vazios $\Omega^{\prime}$ e $\Omega^{\prime\prime}$ e uma classe $\mathcal{E}$ de subconjuntos de $\Omega^{\prime}$ , vale $\sigma(\mathcal{E}\times\{\Omega^{\prime\prime}\})=\sigma(\mathcal{E})\times\{% \Omega^{\prime\prime}\}.$

Demonstração de (D.13).

Vamos supor que a identidade vale com $n-1$ . Como $\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n}\subseteq(\mathcal{F}_{1}% \otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n-1})\times\mathcal{F}_{n}$ , segue que $\sigma(\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n})\subseteq\mathcal{F}_{1% }\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n}$ . Resta mostrar a inclusão oposta. Seja $B\in(\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n-1})\times\mathcal{F}_{n}$ e escreva $B=A^{\prime}\times A^{\prime\prime}$ , com $A^{\prime}\in\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n-1}$ e $A^{\prime\prime}\in\mathcal{F}_{n}$ . Observe que

B=(A^{\prime}\times\Omega_{n})\cap(\Omega_{1}\times\dots\times\Omega_{n-1}% \times A^{\prime\prime}).

Como $A^{\prime}\times\Omega_{n}\in\sigma(\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F% }_{n-1})\times\{\Omega_{n}\}=\sigma(\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F% }_{n-1}\times\{\Omega_{n}\})$ e $\Omega_{1}\times\dots\times\Omega_{n-1}\times A^{\prime\prime}\in\mathcal{F}_{% 1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n}$ , segue que $B\in\sigma(\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n})$ . Logo, $(\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n-1})\times\mathcal{F}_{n}% \subseteq\sigma(\mathcal{F}_{1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n})$ e, portanto, $\mathcal{F}_{1}\otimes\dots\otimes\mathcal{F}_{n}\subseteq\sigma(\mathcal{F}_{% 1}\times\dots\times\mathcal{F}_{n})$ , o que conclui a prova. ∎

Demonstração da Proposição D.14.

Definimos $\mathcal{C}_{n}$ como a classe dos ortantes fechados em $\mathbb{R}^{n}$ , $\mathcal{D}_{n}$ como a classe dos conjuntos abertos de $\mathbb{R}^{n}$ , e $\mathcal{E}_{n}=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1})\times\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Vamos provar que $\sigma(\mathcal{C}_{n})\subseteq\sigma(\mathcal{D}_{n})\subseteq\sigma(% \mathcal{E}_{n})\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n})$ .

Seja $C\in\mathcal{C}_{n}$ . Como $C$ é fechado, $C^{c}\in\mathcal{D}_{n}$ , logo $C\in\sigma(\mathcal{D}_{n})$ . Ou seja, $\mathcal{C}_{n}\subseteq\sigma(\mathcal{D}_{n})$ ; portanto, $\sigma(\mathcal{C}_{n})\subseteq\sigma(\mathcal{D}_{n})$ . Seja $D\in\mathcal{D}_{n}$ . Pelo Teorema A.10, podemos escrever $D=\cup_{k\in\mathbb{N}}E_{k}$ , onde $E_{k}\in\mathcal{E}_{n}$ para cada $k$ , logo $D\in\sigma(\mathcal{E}_{n})$ . Ou seja, $\mathcal{D}_{n}\subseteq\sigma(\mathcal{E}_{n})$ ; portanto, $\sigma(\mathcal{D}_{n})\subseteq\sigma(\mathcal{E}_{n})$ .

Resta mostrar que $\sigma(\mathcal{E}_{n})\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n})$ , o que faremos por indução. O caso $n=1$ é dado pela Proposição 1.43. Supondo que a inclusão vale para um $n\in\mathbb{N}$ fixo, vamos mostrar que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\times\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq\sigma(% \mathcal{C}_{n+1})$ . Afirmamos que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\times\{\mathbb{R}\}\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n+% 1})$ . Com efeito, dado $A\in\mathcal{C}_{n}$ , podemos tomar $B_{k}=A\times(-\infty,k]\in\mathcal{C}_{n+1}$ , que satisfaz $\cup_{k}B_{k}=A\times\mathbb{R}$ , donde $A\times\mathbb{R}\in\sigma(\mathcal{C}_{n+1})$ ; logo, $\mathcal{C}_{n}\times\{\mathbb{R}\}\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n+1})$ ; portanto, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\times\{\mathbb{R}\}\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n}% )\times\{\mathbb{R}\}=\sigma(\mathcal{C}_{n}\times\{\mathbb{R}\})\subseteq% \sigma(\mathcal{C}_{n+1})$ . Afirmamos também que $\{\mathbb{R}^{n}\}\times\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n+% 1})$ , a prova é análoga. Finalmente, dados $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ e $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , podemos escrever $A\times B=(A\times\mathbb{R})\cap(\mathbb{R}^{n}\times B)\in\sigma(\mathcal{C}% _{n+1})$ . Ou seja, $\mathcal{E}_{n+1}\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n+1})$ ; portanto, $\sigma(\mathcal{E}_{n+1})\subseteq\sigma(\mathcal{C}_{n+1})$ , concluindo a prova. ∎